Discrete Kansrekening/Simultane kansverdelingen/Onderling onafhankelijke stochastische variabelen: verschil tussen versies

geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
 
Geen bewerkingssamenvatting
==5.3 Onderling onafhankelijke stochastische variabelen==
 
In het voorgaande hebben we gezien hoe we uit de simultane verdeling van een stel s.v.-en marginale verdelingen kunnen bepalen. Omgekeerd is het in het algemeen niet mogelijk de simultane verdeling van bv. een tweetal s.v.-en X en Y af te leiden uit de marginale verdeling van elk. In een speciaal geval is dit wel mogelijk en is de simultane kansfunctie van een n tal s.v.-en eenvoudig het produkt van de marginale kansfuncties van elk. Dit is het geval als de s.v.-en onderling onafhankelijk zijn. Dit begrip is geheel analoog aan de definitie van onafhankelijke gebeurtenissen en onderling onafhankelijke experimenten. Voor twee s.v.-en X en Y kunnen we van willekeurige gebeurtenissen {XisinX&isin;B<sub>1</sub>} betreffende X en {Y&isin;B<sub>2</sub>} betreffende Y nagaan of ze al dan niet afhankelijk zijn. Als voor elke keuze van B<sub>1</sub> en B<sub>2</sub> de genoemde gebeurtenissen onafhankelijk zijn, ligt het voor de hand om X en Y onderling onafhankelijk te noemen.
 
'''Definitie 5.3.1'''<br> De s.v.-en X<sub>1</sub>,X<sub>2</sub>,...,X<sub>n</sub> heten ('''onderling''') '''onafhankelijk''' (afgekort tot '''o.o.''') als de gebeurtenissen {X<sub>1</sub>&inisin; B<sub>1</sub>},{X<sub>2</sub>&inisin; B<sub>2</sub>},...,{X<sub>n</sub>&inisin; B<sub>n</sub>} onderling onafhankelijk zijn voor iedere B<sub>1</sub>&sub; S<sub>X</sub> , B<sub>2</sub>&sub; S<sub>X</sub> , ..., B<sub>n</sub>&sub; S<sub>X</sub> . Als het n -tal niet onderling onafhankelijk is, heten ze '''afhankelijk'''.
 
Als de s.v.-en X en Y onderling onafhankelijk zijn kunnen we de simultane verdeling afleiden uit de marginale verdelingen van X en van Y, want de gebeurtenissen {X=x} en {Y=y} zijn voor elke x en y onafhankelijk, dus: P(X=x en Y=y) = P(X=x).P(Y=y). Algemeen geldt voor een n -tal:
 
'''Stelling 5.3.1'''<br> Als de s.v.-en X<sub>1</sub>,X<sub>2</sub>,...,X<sub>n</sub> onderling onafhankelijk zijn, geldt:
 
'''Voorbeeld 1'''<br> De s.v.-en X<sub>1</sub>,X<sub>2</sub>,...,X<sub>n</sub> zijn o.o. en hetzelfde verdeeld als X met P(X=1) = 1 - P(X=0) = p. De simultane verdeling wordt dan gegeven door:
:<math>p_{X_1,X_2,...,X_n}(x_1,x_2,...,x_n) = p_{X_1}(x_1)p_{X_2}(x_2)...p_{X_n}(x_n)=p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}</math>, voor x<sub>i</sub> = 0 of 1 voor alle i.
 
voor x<sub>i</sub> = 0 of 1 voor alle i.
 
Stelling 5.3.1 is ook karakteristiek voor onderling onafhankelijke s.v.-en. Omgekeerd geldt nl. ook dat een n-tal s.v.-en onderling onafhankelijk is als de simultane verdeling het produkt is van de marginale verdelingen van elk.
2.413

bewerkingen

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.