Discrete Kansrekening/Simultane kansverdelingen/Onderling onafhankelijke stochastische variabelen: verschil tussen versies

In het voorgaande hebben we gezien hoe we uit de simultane verdeling van een stel s.v.-en marginale verdelingen kunnen bepalen. Omgekeerd is het in het algemeen niet mogelijk de simultane verdeling van bv. een tweetal s.v.-en X en Y af te leiden uit de marginale verdeling van elk. In een speciaal geval is dit wel mogelijk en is de simultane kansfunctie van een n tal s.v.-en eenvoudig het produkt van de marginale kansfuncties van elk. Dit is het geval als de s.v.-en onderling onafhankelijk zijn. Dit begrip is geheel analoog aan de definitie van onafhankelijke gebeurtenissen en onderling onafhankelijke experimenten. Voor twee s.v.-en X en Y kunnen we van willekeurige gebeurtenissen {XisinX∈B₁} betreffende X en {Y∈B₂} betreffende Y nagaan of ze al dan niet afhankelijk zijn. Als voor elke keuze van B₁ en B₂ de genoemde gebeurtenissen onafhankelijk zijn, ligt het voor de hand om X en Y onderling onafhankelijk te noemen.

'''Definitie 5.3.1'''<br> De s.v.-en X₁,X₂,...,X_n heten ('''onderling''') '''onafhankelijk''' (afgekort tot '''o.o.''') als de gebeurtenissen {X₁&inisin; B₁},{X₂&inisin; B₂},...,{X_n&inisin; B_n} onderling onafhankelijk zijn voor iedere B₁&sub; S_X , B₂&sub; S_X , ..., B_n&sub; S_X . Als het n -tal niet onderling onafhankelijk is, heten ze '''afhankelijk'''.

Als de s.v.-en X en Y onderling onafhankelijk zijn kunnen we de simultane verdeling afleiden uit de marginale verdelingen van X en van Y, want de gebeurtenissen {X=x} en {Y=y} zijn voor elke x en y onafhankelijk, dus: P(X=x en Y=y) = P(X=x).P(Y=y). Algemeen geldt voor een n -tal:

:<math>p_{X_1,X_2,...,X_n}(x_1,x_2,...,x_n) = p_{X_1}(x_1)p_{X_2}(x_2)...p_{X_n}(x_n)=p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}</math>,

voor x_i = 0 of 1 voor alle i.