Klassieke Mechanica/Lagrange: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 159:
===Kogel in draaiende buis===
Als tweede voorbeeld wordt een de beweging van een kogel in een draaiende buis bestudeerd. Gegeven is een cirkelvormige buis, die opgesteld in in een verticaal vlak en draait rond een diagonale verticale as De buis heeft een straal r en traagheidsmoment I t.o.v. de as en wordt in rotatie gehouden door een constant moment M. In de buis kan een kogel met massa m op en neer rollen. Men vraagt de bewegingsvergelijkingen op te stellen.
[[afbeelding:kogelinBuis.png|right|kogel in roterende buis]]
De snelheid van de kogel bestaat uit een [[Klassieke_Mechanica/Kinematica-2#De_drie_snelheden| sleepsnelheid en een relatieve snelheid]]. Daar beide loodrecht op elkaar staan wordt de uitdrukking voor de kinetische energie van de kogel eenvoudig:
:<math>E_k(kogel) = \frac{m}{2}(v_s^2 + v_r^2) = \frac{m}{2}[(r\sin\theta.\dot\varphi)^2 + (r\dot\theta)^2] = \frac{mr^2}{2}(\sin^2\theta.\dot\varphi^2 + \dot\theta^2)</math>
De totale kinetische energie wordt dan:
:<math>E_k = T = \frac{mr^2}{2}(\sin^2\theta.\dot\varphi^2 + \dot\theta^2) + \frac{I\dot\varphi^2}{2}</math>
Er is alleen veranderende potentiële energie voor de kogel:
:<math>\displaystyle E_{pot} = V = - mgr\cos\theta </math>
De Lagrangiaan wordt dus:
:<math> L = T-V = \frac{mr^2}{2}(\sin^2\theta.\dot\varphi^2 + \dot\theta^2) + \frac{I\dot\varphi^2}{2} + mgr\cos\theta</math>
Voor de vergelijking in θ krijgt men:
:<math>\frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = mr^2\dot\theta \quad \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}) = mr^2\ddot\theta</math>
:<math>\frac{\partial L}{\partial \theta} = mr^2\sin\theta\cos\theta.\dot\varphi^2 - mgr\sin\theta</math>
De eerste vergelijking wordt hiermede
:<math>mr^2(\ddot\theta - \sin\theta\cos\theta.\dot\varphi^2) + mgr\sin\theta = 0 </math>
Voor de vergelijking in φ
:<math>\frac{\partial L}{\partial \dot \varphi} = mr^2\sin^2\theta.\dot \varphi + I \dot\varphi</math>
:<math>\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot \varphi}) = mr^2(2\sin\theta\cos\theta.\dot \theta \dot \varphi + \sin^2\theta.\ddot\varphi) + I \ddot\varphi = M</math>
:<math>\frac{\partial L}{\partial \varphi} = 0 </math> , maar φ is geen cyclishce coördinaat omdat er een rechterlid is. Zonder het uitwendig moment M zou φ wel cyclish zijn als teken van behoud van impulsmoment t.o.v. de as.
De tweede vergelijking wordt dan:
:<math>(mr^2\sin^2\theta + I )\ddot\varphi + 2mr^2\sin\theta\cos\theta.\dot \theta\dot \varphi = M</math>
Men herkent in de eerste term het moment van de massa x de Coriolisversnelling t.o.v. de as en in de tweede term het moment van de massa x de tangentiële versnelling t.o.v. de as. De [[Klassieke_Mechanica/Kinematica-2#De_versnelling|Coriolisversnelling]] is hier via een totaal andere weg tevoorschijn gekomen dan bij de behandeling van de versnellingen.
===Slingerende schijf===
| |||