Klassieke Mechanica/Lagrange: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 187:
===Slingerende schijf===
[[Afbeelding:complexVoorbeeld.png|right|schijf slingerend in roterend systeem]]
Bij de behandeling van de algemene rotatie werd als [[Klassieke_Mechanica/Voorwerpendynamica-2#Een_complexer_voorbeeld| tweede voorbeeld]] een slingerende schijf behandeld. De figuur wordt hier hernomen. Er word ondersteld dat het systeem met een constante hoeksnelheid ω<sub>1</sub> rond zijn verticale as draait. Er werd daar gezegd dat, als men alleen geïnteresseerd is in de vergelijking die het slingeren van de schijf beheerst, men deze veel sneller zou kunnen vinden met de methode van Lagrange. Dit wordt hier nu uitgewerkt.
<br />De enige vrijheidsgraad van het systeem is het slingeren rond de horizontale as. Voor de methode van Lagrange moet men ω<sub>1</sub> vervangen door <math>\dot\theta</math>.
De ogenblikkelijke rotatievector wordt dan:
:<math>\vec{\omega} = \vec{\omega}_1 + \vec{\dot\theta} = (-\cos\theta.\omega_1)\vec i + (\sin\theta.\omega_1)\vec j + (\dot\theta)\vec k</math>
Daar er met een hoofdtraagheidsassenkruis gewerkt wordt, is de kinetische energie gegeven als:
:<math>E_{kin} = T = \frac{1}{2}(I_{xx}\omega_x^2 + I_{yy}\omega_y^2 + I_{zz}\omega_z^2)</math>
:<math>\quad = \frac{1}{2}(I_{xx}\cos^2\theta.\omega_1^2 + I_{yy}\sin^2\theta.\omega_1^2 + I_{zz}\dot\theta^2) </math>
Voor de potentiële energie krijgt men:
:<math>\displaystyle V = -mgr\cos\theta</math>
En tenslotte voor de Lagrangiaan:
:<math> L = T - V = \frac{1}{2}(I_{xx}\cos^2\theta.\omega_1^2 + I_{yy}\sin^2\theta.\omega_1^2 + I_{zz}\dot\theta^2) + mgr\cos\theta</math>
De afgeleiden:
:<math>\frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = I_{zz}\dot\theta \quad \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}) = I_{zz}\ddot\theta </math>
:<math>\frac{\partial L}{\partial \theta} = - I_{xx}\omega_1^2\cos\theta\sin\theta + I_{yy}\omega_1^2\sin\theta\cos\theta - mgr\sin\theta </math>
De vergelijking wordt dan:
:<math>I_{zz}\ddot\theta + \omega_1^2\sin\theta\cos\theta(I_{xx} - I_{yy}) + mgr\sin\theta = 0 </math>
De traagheidsmomenten hebben volgende volgende waarden:
<br />
I<sub>xx</sub> = mr<sup>2</sup>/4 (uit de [[w:Traagheidsmoment|tabellen]])<br />
I<sub>yy</sub> = mr<sup>2</sup>/4 + mr<sup>2</sup> = 5mr<sup>2</sup>/4 (als vorige + Steiner)<br />
I<sub>zz</sub> = mr<sup>2</sup>/2 + mr<sup>2</sup> = 3mr<sup>2</sup>/2 (tabel + Steiner)<br />
Hiermede vereenvoudigt de vergelijking zich tot:
:<math>\frac{3mr_2}{2}\ddot\theta - \omega_1^2\sin\theta\cos\theta + mgr\sin\theta = 0 </math>
Dit is ook precies de momentenvergelijking die vroeger gevonden werd. Natuurlijk heeft men hier geen verdere informatie over de reactiekrachten in de verschillende steunpunten.
| |||