Klassieke Mechanica/Lagrange: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
/*Dynamisch evenwicht *: |
|||
Regel 215:
:<math>\frac{3mr^2}{2}\ddot\theta - \omega_1^2\sin\theta\cos\theta + mgr\sin\theta = 0 </math>
Dit is ook precies de momentenvergelijking die vroeger gevonden werd. Natuurlijk heeft men hier geen verdere informatie over de reactiekrachten in de verschillende steunpunten.
==Dynamisch evenwicht==
Het is weinig gebruikelijk, maar de vergelijkingen van Lagrange kunnen ook perfect gebruikt worden voor het bepalen van het dynamisch evenwicht in meer complexe situaties. Met "dynamisch evenwicht" wordt bedoeld dat er een evenwichtstoestand optreedt in aanwezigheid van versnellingen. Een eenvoudig voorbeeld zijn de zetels van een draaimolen die onder een bepaalde hoek gaan hangen als de molen draait. Zoals de klassieke statica kan beschouwd worden als een toepassing van de wet van Newton, maar met versnelling 0, en van de rotatiewetten, maar met hoekversnelling 0, zo kan men ook de vergelijkingen van Lagrange gebruiken voor het zoeken van een positie waarbij een veralgemeende coördinaat een constante waarde aanneemt. Deze veralgemeende coördinaat wordt in het vervolg q<sub>k</sub> genoemd. Men zoekt dan naar een positie waarbij
:<math>\dot q_k = \ddot q_k = 0 </math>
Het is duidelijk dat men best zal vermijden termen te berekenen die toch 0 worden. De termen in de tweede afgeleide van q<sub>k</sub> ontstaan uit de eerste term van de Lagrange-vergelijkingen, waar er gedifferentieerd wordt naar de tijd van termen
in q<sub>k</sub>-punt, de eerste afgeleide van q<sub>k</sub>. Als men het geval van een potentiaal die functie is van de veralgemeende snelheid q<sub>k</sub>-punt uitsluit, dan ontstaat de term in de tweede afgeleide van q<sub>k</sub>, q<sub>k</sub>-dubbel, door het differentiëren van de kinetische energie. Als dit een zuivere kwadratische (of hogere) functie is van de veralgemeende snelheid q<sub>k</sub>-punt, dan zal elke term die volgt uit het differentiëren naar de tijd een factor in q<sub>k</sub>-punt of q<sub>k</sub>-dubbel bevatten. Als men deze beide later toch nul moet stellen, moet men deze eerste term dus nooit berekenen. De voorwaarde, dat de kinetische energie een zuivere kwadratische functie van q<sub>k</sub>-punt zou zijn, is dat '''de parameterkromme voor q<sub>k</sub> loodrecht staat op de andere parameterkrommen'''. Dit is een voorwaarde die vrij eenvoudig te controleren is. Men kan zich dus beperken tot de vergelijking:
:<math> -\frac{\partial L}{\partial q_k} = Q_k </math>
Als eerste toepassing wordt teruggekeerd naar het voorbeeld van de slingerende schijf. Uit de bewegingsvergelijking is het duidelijk dat de evenwichtsstand gegeven is door
:<math>- \omega_1^2\sin\theta\cos\theta + mgr\sin\theta = 0 </math>
Bij de behandeling in het hoofdstuk over [[Klassieke_Mechanica/Voorwerpendynamica-2#Een_complexer_voorbeeld|de algemene rotatie]] wordt een uitvoerige bespreking gegeven van deze vergelijking. Nu moet enkel aangetoond worden dat die hier op een eenvoudige manier kan bekomen worden als:
:<math>\frac{\partial L}{\partial \theta} = 0 </math> (als er geen rechterlid is, heeft het minteken geen belang)
Als men hoger gaat kijken dan vindt men hiervoor inderdaad:
:<math>\frac{\partial L}{\partial \theta} = (I_{xx} - I_{yy})\omega_1^2\sin\theta\cos\theta + mgr\sin\theta = -mr^2\omega_1^2\sin\theta\cos\theta + mgr\sin\theta = 0</math>
wat precies is wat er moest bekomen worden.
Men kan in feite nog een kleine verdere vereenvoudiging invoeren bij het berekenen van de kinetische energie. Als er in de algemene vorm ervan, alleen een kwadratische term in q<sub>k</sub>-punt kan voorkomen en die later toch gelijk 0 zal gesteld worden, dan moet men die feitelijk niet opnemen in de kinetische energie. Men kan dus '''de kinetische energie opschrijven zoals die zal zijn op het ogenblik van het dynamisch evenwicht'''.
<br />Voor het bovenstaande voorbeeld was de kinetische energie:
:<math>E_{kin} = \frac{1}{2}(I_{xx}\cos^2\theta.\omega_1^2 + I_{yy}\sin^2\theta.\omega_1^2 + I_{zz}\dot\theta^2) </math> <br />
:<math> = \frac{mr^2}{2}(\frac{1}{4}\cos^2\theta.\omega_1^2 + \frac{5}{4}\sin^2\theta.\omega_1^2 + \frac{3}{2}\dot{\theta}^2)</math> <br />
:<math> = \frac{mr^2}{2}(\frac{\omega_1^2}{4} + \sin^2\theta.\omega_1^2 + \frac{3}{2}\dot{\theta}^2)</math>
Het is duidelijk dat de eerste term van bovenstaande vergelijking ook bekomen wordt als men de term in θ-punt weg laat uit de uitdrukking voor E<sub>kin</sub>
===Tweede voorbeeld: draaiende staaf===
[[afbeelding:roterendeStaaf.png|right|staaf roterend rond verticale as]]
Als tweede voorbeeld wordt een staaf met lengte l beschouwd, die scharnierend bevestigd is aan een verticale as, die met constante hoeksnelheid ω rond draait.
Met de klassieke benadering dat het traagheidsmoment in de richting van de staaf verwaarloosbaar is, heeft men dus alleen traagheidsmomenten volgens de richtingen loodrecht op de staaf, hier de y- en z-as. De totale ogenblikkelijke rotatievector wordt:
:<math>\vec\omega_{tot} = (-\omega\cos\theta, \omega\sin\theta, \dot\theta)</math>
De kinetische energie wordt, zonder de term in θ-punt:
:<math>E_{kin} = \frac{I_{yy}\omega^2\sin^2\theta}{2} = \frac{ml^2\omega^2\sin^2\theta}{6}</math>
De potentiële energie wordt:
:<math> V= -\frac{mgl\cos\theta}{2} </math>
:<math> T - V = \frac{ml^2\omega^2\sin^2\theta}{6} + \frac{mgl\cos\theta}{2} </math>
:<math> \frac{\partial (T - V)}{\partial \theta}= \frac{ml^2}{3} \omega^2 \sin\theta \cos\theta - \frac{mgl\sin\theta}{2} = 0</math>
Indien de staaf losgelaten wordt in een begintoestand met θ gelijk aan 0, dan blijft ze in die toestand. Voor θ verschillend van 0 leidt dit tot de oplossing:
:<math>\cos\theta = \frac{3g}{2l\omega^2}</math>
met de bijkomende voorwaarde dat het rechterlid <= 1 moet zijn, anders gaat men naar een eindtoestand met θ = 0.
<br />In termen van traagheidskrachten kan men de eindtoestand zien als een momentenevenwicht t.o.v. het scharnier van het gewicht en van een middelpuntvliedende kracht die aangrijpt op 2/3 van de lengte van de staaf, maar een grootte heeft die overeenkomt met de volledige massa halfweg de staaf.
:<math> (m\frac{l}{2}\sin\theta.\omega^2)(\frac{2l}{3}\cos\theta) = (mg)(\frac{l}{2}\sin\theta)</math>
Dit kan gemakkelijk begrepen worden als men bedenkt dat elk deeltje van de staaf een cirkel beschrijft, die groter wordt naarmate dit deeltje verder van het scharnier af ligt. De straal van die cirkel is immers l.sinθ. De bijhorende middelpuntvliedende krachten vormen dus een driehoekig krachtveld. De totale oppervlakte van een driehoek is (basis x hoogte)/2, maar het zwaartepunt ligt op 2/3 van de top (of 1/3 van de basis).
| |||