Wiskunde/Oppervlakte: verschil tussen versies

8.109 bytes verwijderd ,  16 jaar geleden
nieuwe opvatting
k (sp)
(nieuwe opvatting)
Deze module, die het begrip '''oppervlakte''' beschrijft, bestaat uit de volgende hoofdstukken (met de moeilijkheid aangeduid met sterretjes):
In dit hoofdstuk komt het berekenen van de oppervlakte van verschillende figuren aan bod.
#[[Wiskunde/Oppervlakte:begrip|Het begrip oppervlakte]] (*);
 
#[[Wiskunde/Oppervlakte:eenvoudige meetkundige vormen|De oppervlakte van enkele eenvoudige meetkundige vormen]] (*);
 
#[[Wiskunde/Oppervlakte:integraalbegrip|De oppervlakte onder een willekeurige kromme]] (***);
Als je dit hoofdstuk doorgewerkt hebt weet je:
#[[Wiskunde/Oppervlakte:3D|Oppervlakte bij 3D-objecten]] (***).
* Hoe je een oppervlakte kunt opschrijven (cm², dm², m², km², hectare)
* Hoe de verhoudingen zijn tussen de verschillende oppervlakte-eenheden
* Hoe je de oppervlakte van een vierhoek moet berekenen
* Hoe je de oppervlakte van een driehoek uit kan rekenen
* Hoe je de oppervlakte van een cirkel uit kan rekenen
* Hoe je de oppervlakte van een ellips uit kan rekenen
 
en, een stuk moeilijker, hoe je de oppervlakte onder een willekeurige functie kunt berekenen.
 
 
== Hoe kun je de oppervlakte van een rechthoek uitrekenen? ==
Om de oppervlakte van een rechthoek uit te rekenen heb je twee gegevens nodig, namelijk de lengte en de breedte van de rechthoek. Voorbeeld:
 
[[Afbeelding:vierkant1.JPG|center]]
 
De bovenstaande rechthoek is 4 cm breed en 10 cm lang. De oppervlakte is het aantal vierkante centimeters die in de rechthoek passen. Door om de centimeter lijnen te trekken verdelen we de lengte in 10 stukken van 1 cm en de breedte in 4 stukken van 1 cm. We tellen nu 10 × 4 = 40 vierkantjes van 1 cm lang en 1 cm breed.
 
Om de oppervlakte te berekenen moet je dus de volgende formule gebruiken:
 
:'''lengte x breedte = oppervlakte'''
 
in dit geval is dat:
 
:10 cm x 4 cm = 40 cm²
 
 
Zoals je misschien al hebt gezien staat er als eenheid cm², dus cm met een kleine 2 boven achter cm. Dit betekent dat het een oppervlakte-eenheid is; cm² wordt uitgesproken als 'vierkante centimeter' en betekent eigenlijk niets anders dan cm × cm.
 
Als je de maten in meters hebt, bijvoorbeeld een rechthoek van 6 meter bij 3 meter, wordt de oppervlakte automatisch in 'vierkante meters'. Dus:
 
 
:6 m x 3 m = 18 m²
 
 
De lengte en breedte kunnen het best in dezelfde lengte-eenheid zijn. Als je een rechthoek van 50 cm bij 4 meter hebt, kun je de oppervlakte op 2 manieren berekenen, namelijk:
 
 
:0,5 m x 4 m = 2 m²
 
of
 
:50 cm x 400 cm = 20.000 cm²
 
 
Zoals je al ziet is de oppervlakte van een rechthoek van 50 cm bij 4 meter gelijk aan 2 m², maar ook aan 20.000 cm². Blijkbaar is 2 m² dus hetzelfde als 20.000 cm².
 
 
== Hoe om te rekenen tussen de verschillende oppervlakte-eenheden? ==
Zoals je al had gelezen is 2 m² gelijk aan 20.000 cm², maar hoeveel cm² is nou 25 dm²? Daarvoor gaan we eerst naar het volgende schema kijken:
 
[[Afbeelding:Metersnaar.JPG|center]]
 
Dit schema zul je vast wel herkennen. In dit schema kun je zien hoeveel stappen je nodig hebt om van de ene naar de andere lengte-eenheid te gaan. Zo zie je dat je van milimeters naar meters 3 stappen nodig hebt, 3 meter is dus (x 10 x 10 x 10) 3.000 milimeter.
 
Voor het omrekenen tussen oppervlakte eenheden hebben we een zelfde soort schema, namelijk:
 
[[Afbeelding:Oppervlakte.JPG|center]]
 
Zoals je kunt zien wordt er nu niet vermenigvuldigd met een factor 10 maar met een factor 100. Hier kun je ook aflezen dat 2 m² inderdaad 20.000 cm² is, je moet namelijk twee keer vermenigvuldigen met 100 om van vierkante meters naar vierkante centimeters te gaan. Nu kun je ook berekenen dat 25 dm² gelijk is aan (25 x 100) 2.500 cm².
 
 
Een tweede methode die je kunt gebruiken is door te bedenken dat 1 dm gelijk is aan 10 cm, dan is dus:
: 1 dm² = 1 dm x 1 dm = 10 cm x 10 cm = 100 cm²
en
:25 dm² = 25 dm x 1 dm = 250 cm x 10 cm = 2500 cm²
 
 
Er wordt niet vaak gesproken over een vierkante hectometer (of hm²), hiervoor in de plaats wordt vaak het woord 'hectare' gebruikt. Een hectare is (100 m x 100 m) 10.000 m².
 
== Hoe kun je de oppervlakte van een driehoek uitrekenen? ==
Een driehoek is net zo groot als een halve rechthoek, zoals te zien is in de volgende afbeeldingen.
 
 
[[Afbeelding:Driehoek.PNG|center]]
 
 
Zoals je ziet zijn het rode en het blauwe gedeelte (een of twee driehoeken) even groot. De formule die je nodig hebt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen is dus:
 
 
:'''oppervlakte driehoek = (lengte x breedte) : 2'''
 
 
Eenvoudig gezegd bereken je dus eerst de oppervlakte van de rechthoek en neem je daar de helft van. Nu is de lengte van de rechthoek gelijk aan de lengte van de zijde die de basis is van de driehoek en de breedte van de rechthoek is gelijk aan de hoogte van dedriehoek, dus de formul;e wordt:
 
:'''oppervlakte driehoek = (basis x hoogte) : 2'''
 
Bijvoorbeeld:
 
 
[[Afbeelding:Driehoek2.PNG|center]]
 
 
De basis is 7 cm lang en de hoogte is 5 cm, de oppervlakte van de driehoek is dus:
 
 
:(7 cm x 5 cm) : 2 = 17,5 cm²
 
 
== Hoe kun je de oppervlakte van een cirkel uitrekenen? ==
Voor het uitrekenen van de oppervlakte een cirkel krijg je te maken met een aantal termen, deze termen zijn:
 
 
* De diameter van een cirkel
* De straal van een cirkel
* Het getal Pi (π)
 
 
=== Wat is diameter? ===
De diameter is de grootste afstand die je kan meten in een cirkel, zoals hieronder aan staat gegeven:
 
 
[[Afbeelding:Diameter.PNG|center]]
 
 
=== Wat is de straal? ===
De straal (in de wiskunde genoteerd als ''r'') is de helft van de diameter. Als de diameter 10 cm is, dan is de straal dus (10 cm : 2) 5 cm.
 
 
=== Wat is het getal π? ===
Het getal π (spreek uit "pi") is een getal aangegeven door de 16e letter van het Griekse alfabet. Het getal π gaat (voor zover bekend) oneindig lang achter de komma door. De meeste rekenmachines geven π echter aan tot zo'n 10 á 20 getallen achter de komma, maar voor het het gemak kunnen we stellen:
 
:π = 3.14159265...
 
=== Wat is de formule? ===
De formule die gebruikt wordt om de oppervlakte van een cirkel te berekenen is:
 
 
'''Oppervlakte cirkel = Pi x straal x straal'''
 
Of in het kort:
 
'''Oppervlakte cirkel = π x r²'''
 
 
Laten we deze formule uitproberen met de volgende cirkel:
 
 
[[Afbeelding:Cirkel.PNG|center]]
 
 
Deze cirkel heeft een diameter van 10 cm. Voor het toepassen van de formule hebben wij echter niet de diameter, maar de straal nodig. Zoals hiervoor al gezegd is, is de straal de helft van de diamter, in dit geval is de straal dus 5 cm. Nu kunnen we de oppervlakte uitrekenen:
 
 
Oppervlakte cirkel = Pi x 5 cm x 5 cm = 78,54 cm²
 
of korter
 
Oppervlakte cirkel = π x 5² cm = 78,54 cm²
 
 
Het lijkt in het begin misschien ingewikkeld, maar na een paar keer oefenen wordt het steeds eenvoudiger.
 
 
== Hoe kun je de oppervlakte van een ellips uitrekenen? ==
Een ellips wordt ook wel een ovaal genoemd. Dit is echter niet correct : een ellips is een doorlopende kromme terwijl een ovaal uit cirkelsegmenten bestaat. De formule om de oppervlakte van een ellips uit te rekenen lijkt erg op de formule om de oppervlakte van een cirkel uit te rekenen. Het verschil is dat een ellips niet een vaste diameter heeft. Een lijn door het middelpunt heeft een lengte die varieert van een kleinste waarde tot een grootste. De kleinste lijn heet de korte as van de ellips en de grootste de lange as. In plaats van met het kwadraat van de straal zoals bij een cirkel, bereken je de oppervlakte van een ellips met het product ab van de lengten a en b van de beide halve assen. Hieronder staat een ellips afgebeeld met de beide halve assen weergegeven.
 
 
[[Afbeelding:Ellips.PNG|center]]
 
 
a = de halve lange as (het langste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips)
 
b = de halve korte as (het kortste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips)
 
 
De formule om de oppervlakte van een ellips uit te rekenen is:
 
 
:'''oppervlakte ellips = π x halve lange as a x halve korte as b'''
 
 
Als 'a' 20 cm is en 'b' 5 cm is, is de oppervlakte:
 
:oppervlakte ellips = π x 20 cm x 5 cm = 314,2 cm²
 
== Hoe kun je de oppervlakte onder een functie berekenen? ==
Stel, we wensen de oppervlakte onder een willekeurige functie te bepalen, meer bepaald geklemd de x-as en de functie, voor de x-waarden groter dan x<sub>b</sub> en kleiner dan x<sub>e</sub>. Om dit voor alle mogelijk functies te bereken, zijn integralen noodzakelijk.
 
[[Afbeelding:Oppervlakte onder functie.PNG|center|180px]]
 
Die oppervlakte is dan:
:<math>A=\int_{x_b}^{x_e}{f(x)}</math>
 
===Toepassingen===
Nemen we de oppervlakte onder de constante functie f(x)=c, voor x van 0 tot L, deze is gelijk aan:
:<math>A=\int_{0}^{L}{f(x)}=c\int_{0}^{L}{}=c.L</math>,
wat inderdaad het oppervlak van die figuur (een rechthoek) is.
 
 
Bij een cirkel (en algemeen bij willekeurige functies) is de berekening van de oppervlakte een stuk moeilijker:
:<math>A=\int_{-y}^y \int_{-\sqrt{R^2-y^2}}^{\sqrt{R^2-y^2}}=\pi R^2</math>. Uiteraard is het eleganter de cirkel [[polair]] te beschrijven, en in een polair assenstelsel te integreren!
 
 
 
 
 
 
[[Categorie:Wiskunde|Oppervlakte]]
1.310

bewerkingen

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.