Wiskunde/Oppervlakte:integraalbegrip: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
temp |
++ |
||
Regel 1:
De berekening van de oppervlakte onder een willekeurige functie in een bepaald interval is niet van de poes, en in tegenstelling tot eenvoudige gevallen (rechthoek, cirkel) kan de oppervlakte niet m.b.v. formules gevonden worden. Om die oppervlaktes toch te berekenen, is een nieuw begrip nodig, namelijk het integraalbegrip. Allereerst proberen we het oppervlak benaderend te vinden.
== Hoe kun je de oppervlakte onder een functie berekenen? ==▼
==Riemann-sommen==
Om het probleem aan te pakken, nemen we onze functie, en verdelen we het interval in partities (elkaar niet overlappende delen), zodat het ganse interval verdeeld werd. Voor de eenvoud nemen we even grote partities. Het probleem wordt dan opgesplitst in kleinere deelintervallen.
De benaderingsmethode zit hem erin, dat in de intervallen de functiewaarden niet al te veel meer varieren, en aldus constant mogen genomen worden. Bij de benadering van Riemann nemen we de functiewaarde in het midden van het interval als functiewaarde over het ganse interval (zie onderstaande figuur). Het gezochte oppervlak is dan de grootte van de rechthoek met als breedte de grootte van de partitie, en als hoogte de functiewaarde in het midden.
[[Afbeelding:Benadering van integraal (n=5).png|center]]
Het oppervlak is dan benaderend gegeven door (stel b=breedte van het interval) :
Wensen we een hogere nauwkeurigheid, dan is een van de mogelijkheden het verkleinen van de partities (bijv. een onderverdeling in 20 ipv 5 intervallen).
[[Afbeelding:Benadering van integraal (n=20).png|center]]
Indien we het aantal (even grote) partities alsmaar laten stijgen, zullen we alsmaar dichter bij de oppervlakte onder de functie komen. Indien we de limiet nemen, de grootte van de partitie naar nul gaat, of het aantal partities naar oneindig, dan bekomen we het precieze oppervlak. Dit is nu precies integreren. In bovenstaand geval blijkt het oppervlak rond de twee te liggen.
==Trapeziumregel==
Uiteraard is de Riemann-som een botte benadering. Een betere benadering zou kunnen zijn dat we werken met trapezia i.p.v. rechthoeken:
[[Afbeelding:Benadering van integraal (n=4).png|center]]
Aangezien de precieze manier van benaderen (Riemann, trapeziumregel) niet belangrijk is, wordt daar in de notatie van de integraal ook geen rekening mee gehouden: Int(sin(x), x = 0 .. Pi)
▲== Hoe kun je de oppervlakte onder een functie nu berekenen? ==
Stel, we wensen de oppervlakte onder een willekeurige functie te bepalen, meer bepaald geklemd de x-as en de functie, voor de x-waarden groter dan x<sub>b</sub> en kleiner dan x<sub>e</sub>. Om dit voor alle mogelijk functies te bereken, zijn integralen noodzakelijk.
Regel 7 ⟶ 37:
:<math>A=\int_{x_b}^{x_e}{f(x)}</math>
===
Nemen we de oppervlakte onder de constante functie f(x)=c, voor x van 0 tot L, deze is gelijk aan:
:<math>A=\int_{0}^{L}{f(x)}=c\int_{0}^{L}{}=c.L</math>,
| |||