Klassieke Mechanica/Botsingen: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 70:
Nota: deze tweede definitie is niet essentieel en kan gerust overgeslagen worden.<br />
De tweede definitie voor de restitutiecoëffciënt zegt dat het de verhouding is tussen de grootte van de stoot tijden de ontspanningsfase, N<sub>o</sub>, over de grootte van de stoot tijdens de samendrukkingsfase, N<sub>s</sub>, voor één der betrokken massa's.
Duidt men de snelheden voor en na de botsing aan zoals hoger en de gemeenschappelijke snelheid als v, dan geldt:
:<math> \vec N_s = m_1(\vec v - \vec{v_{1}}) = -m_2(\vec v - \vec{v_{2}})</math>
Duidt men de snelheden na de botsing aan als u<sub>1</sub> en u<sub>2</sub> dan geldt:
:<math>\vec N_o = m_1(\vec{u_1} - \vec v) = - -m_2( \vec{u_2} - \vec v)</math>
Bij een centrale botsing liggen alle snelheden volgens de verbinding tussen de twee massacentra. Men kan dus alle vectoren projecteren op een as volgens die lijn, waarbij elke projectie nog positief of negatief kan uitvallen. Men krijgt dan:
:<math>k = \frac{N_o}{N_s} = \frac{u_1 - v}{v - v_1} = \frac{u_2 - v}{v - v_2}</math>
Uit deze vergelijking kan v geëlimineerd worden:
:<math>k = \frac{\scriptstyle{teller1 - teller2}}{\scriptstyle{noemer1 - noemer2}}= \frac{u_1 - u_2}{-v_1 + v_2} = -\frac{u_2 - u_1}{v_2 - v_1}</math>
...zoals ook hoger gevonden.
De gemeenschappelijke snelheid v tussen de twee fases volgt uit behoud van impuls als:
:<math> v = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}</math>
Hiermede kan nu ook de grootte van het verlies aan kinetische energie tijden de samendrukkingsfase berekend worden:
:<math>\Delta E_{ks}= (\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2}) - \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2}</math>
Na substitutie van de formule voor v en enig rekenwerk blijkt dit te herleiden tot:
:<math>\Delta E_{ks}= \frac{m_1m_2}{2(m_1 + m_2)}(v_1 - v_2)^2</math>
Op analoge manier leidt de berekening van de winst aan kinetische ennergie tijdens de ontspanningsfase tot:
:<math>\Delta E_{ko}= \frac{m_1m_2}{2(m_1 + m_2)}(u_1 - u_2)^2</math>
De verhouding hiervan leidt tot een verrassend resultaat:
:<math>\frac{\Delta E_{ko}}{\Delta E_{ks}} = \frac{(u_1 - u_2)^2}{(v_1 - v_2)^2} = k^2</math>
Men kan dit ook controleren in het applet van Wiley (zie link hoger).
==Schuine botsing==
Wanneer de snelheden van de botsende massa's niet volgens de verbindingslijn van de massacentra liggen, heeft men een schuine botsing. Of anders geformuleerd: bij een centrale botsing ligt het botsingsvlak loodrecht op de snelheden, bij een schuine botsing niet. Men blijft hier voorlopig binnen de onderstelling dat er tijdens de botsing geen krachten in het botsingsvlak optreden maar alleen krachten loodrecht op het botsingsvlak.
Een biljartspeler gebruikt veel meer schuine botsingen dan echte centrale botsingen. Wat volgt is hierop vrij goed toepasselijk voor zover het gaat over iemand die zonder speciaal "effect" speelt. Bij effectballen worden ballen gebruikt die niet zuiver rollen, maar ook nog op een andere manier roteren. voor experimentele controle van de schuine botsing kan men best pucks op een luchtkussentafel gebruiken.
[[afbeelding:botsingSchuin.png|right|schuine botsing]]
Bij een schuine botsing geldt wat gezegd werd over de restitutiecoëfficiënt voor '''de componenten van de snelheid loodrecht op het botsingsvlak'''. In het licht van de tweede definitie van de restitutiecoëfficiënt, die steunt op de verhouding van de stoten voor en na de botsing, lijkt dit gerechtvaardigd. Men zal dus de snelheden moeten splitsen volgens componenten evenwijdig aan het botsingsvlak en componenten loodrecht op het botsingsvlak.
Als voorbeeld wordt de situatie uit de figuur genomen, met een hoek van 30° tussen de richting van de snelheid en de richting van de component loodrecht op het botsingsvlak, Men voert een rechthoekig assenkruis in, zodat de x-as loodrecht staat op het botsingsvlak en de y-as eraan parallel is. Men krijgt dan als vergelijkingen:<br />
- behoud van impuls:
:<math> m_1\vec v_1 + 0 = m_1\vec u_1 + m_2\vec u_2 </math>
In projecties:
:<math>\displaystyle m_1v_{1x} + 0 = m_1 u_{1x} + m_2u_{2x}\quad </math> onbekenden u<sub>1x</sub> en u<sub>2x</sub>
:<math>\displaystyle m_1v_{1y} + 0 = m_1 u_{1y} + m_2u_{2y}\quad </math> onbekenden u<sub>1y</sub> en u<sub>2y</sub>
- Voor de restitutiecoëfficiënt:
:<math>k = -\frac{u_{2x}-u_{1x}}{0 - v_{2x}}\quad </math> onbekenden u<sub>1x</sub> en u<sub>2x</sub>
Men ziet dat de vergelijking voor de restitutiecoëfficiënt en de projecties op de x-as een stelsel vormen van 2 vergelijkingen in 2 onbekenden. Dat is afzonderlijk oplosbaar. Er blijft op eerst zicht een probleem voor de projecties op de y-as. Daar er echter gewerkt wordt in de onderstelling dat er geen stoten zijn in het botsingsvlak, kunnen de y-componenten niet gewijzigd worden. Dus u<sub>1y</sub> = v<sub>1y</sub> en voor dit geval blijft u<sub>2y</sub> = 0.
| |||