Klassieke Mechanica/Botsingen: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 198:
Als men het hoger gegeven voorbeeld van schuine botsing zou willen oplossen met wrijving tussen de beide schijven of ballen, dan moet men de normale en tangentiële stoten op beide schijven invoeren (2 onbekenden). Verder heeft men als onbekenden de beide snelheden van de massacentra na de botsing (4 onbekenden) en de beide hoeksnelheden (2 onbekenden). In het totaal dus 8 onbekenden. Als vergelijkingen kan men opschrijven: de impulsstelling voor elk van de schijven (4 vergelijkingen), de impulsmomentstelling voor elke schijf (2 vergelijkingen) en de vergelijking van de restitutiecoëfficiënt. Als laatste vergelijking moet men nog iets opschrijven i.v.m. de wrijving. Ofwel onderstelt men dat de schijven altijd over elkaar geschoven hebben en krijgt men als laatste vergelijking N<sub>t</sub> = f<sub>max</sub>N<sub>n</sub>. Ofwel komen beide omtrekken in rust t.o.v. elkaar en kan men tangentiële snelheid van de contactpunten gelijk stellen. Als dat niet opgaat moet men een gedetailleerde numerieke simulatie gebruiken.
==Het
Als men met een hamer op iets klopt, is er dan een plaats van de steel waar men die kan vasthouden om een minimum of zelfs niets van de slag te voelen? Enkele eeuwen geleden formuleerde men de vraag ook als volgt: kan men een zwaard ontwerpen zodat men in het handvat zo weinig mogelijk voelt van de impact bij het toedienen van een houw? Het antwoord op deze vragen is dat zoiets bestaat. het heet het '''slagcentrum''' of in Vlaanderen meestal '''percussiecentrum''' (onder invloed van het franse "centre de percussion" en het engelse "centre of percussion"). Een ander domein waar de vraag gesteld wordt is bij weerstandstesten, waarbij een een zware slinger tegen het testmateriaal slaat. Ook dan verlangt men dat er geen reactie zou zijn in het ophangpunt van de slinger. Als voorbeeld zal hier de ballistische slinger gebruikt worden. Dit is een apparaat waarmede de snelheid van afgevuurde kogels bepaald wordt. Een ballistische slinger bestaat uit een houten blok onderaan een slinger. Men schiet de kogel in het blok en uit de uitwijking van de slinger kan dan de snelheid van de kogel berekend worden.
Er zijn (minstens) drie manieren in omloop om de positie van het slagcentrum wiskundig te bepalen. Een eerste definitie speelt zich af op het niveau van krachten en versnellingen.
Wanneer men een kracht op een vrij voorwerp uitoefent zodat de werklijn naast het massacentrum passeert, dan zal het resultaat een versnelling van het massacentrum (a<sub>c</sub>) zijn en een hoekversnelling rond het massacentrum. Voor punten aan de andere zijde van het massacentrum zal de rotatie een relatieve versnelling creëren die tegengesteld is aan a<sub>c</sub>. Het slagcentrum is dan het punt waar de kracht moet uitgeoefend worden, opdat de totale versnelling van het ophangpunt 0 zou zijn.
Men kan de situatie ook bekijken op het niveau van de stoot en de snelheid en hoeksnelheid. Het slagcentrum is dan het punt waar de stoot moet aangrijpen opdat de totale snelheid van het ophangpunt 0 zou zijn.
Tenslotte is er ook een meer wiskundige variant op de eerste formulering. Hierin stelt men dat een kracht die uitgeoefend wordt op een voorwerp, een systeem doet ontstaan met de dimensies van een kracht en een moment, nl. (ma<sub>c</sub>, Iα). Het slagcentrum is dan het punt waar dit systeem kan herleidt worden tot een zuivere kracht ma<sub>c</sub>, rekening houdend met een verband tussen a<sub>c</sub> en α ontstaan door het bevestigingspunt. Zie het hoofdstuk over [[Klassieke_Mechanica/Equivalenties| equivalente vectorsystemen]] voor de theorie hierachter.
[[afbeelding:ballistischeSlinger.png|right|ballistische slinger]]
Het massacentrum van de slinger ligt in C. Wanneer men de situatie bekijkt op het niveau van kracht en versnelling krijgt men:
:<math>\textstyle F = ma_c</math>
:<math>\textstyle sF = I_c\alpha</math>
De eis aan het ophangpunt A wordt dan:
:<math>\textstyle a_A = a_c - r\alpha = 0</math>
Lost men de eerste 2 vergelijkingen op resp. naar a<sub>c</sub> en α en vult men dat in in de derde vergelijking, dan kan s bepaald worden als functie van r, I<sub>c</sub> en de totale massa m, maar onafhankelijk van F:
:<math> s = \frac{I_c}{mr} </math>
Bekijkt men alles op niveau van de stoten en de snelheden dan krijgt men als vergelijkingen:
:<math>\textstyle N = mv_c</math>
:<math>\textstyle sN = I_c\omega</math>
De eis aan het ophangpunt A wordt dan:
:<math>\textstyle v_A = v_c - r\omega = 0</math>
Wat met dezelfde aanpak tot hetzelfde resultaat leidt.
De derde methode eist dat
:<math>\textstyle sma_c = I\alpha </math>
onder de bijkomende voorwaarde dat
:<math>\textstyle r\alpha = a_c </math>
Dit leidt duidelijk tot hetzelfde resultaat.
In de bovenstaande berekening werd gewerkt met het traagheidsmoment t.o.v. het massacentrum
en alle afstanden werden uitgedrukt t.o.v. het massacentrum. Men kan echter ook werken met het traagheidsmoment t.o.v. het ophangpunt A en de afstand vanaf dat ophangpunt. Volgens de formule van Steiner geldt:
:<math>\textstyle I_A = I_c + mr^2 </math>
Wanneer het moment van F berekend wordt t.o.v. A wordt de tweede vergelijking:
:<math>\textstyle dF = I_A\alpha </math>
Dit leidt tot de formule:
:<math> d = \frac{I_A}{mr} </math>
Men moet dus wel opletten dat men beide mogelijkheden niet door elkaar mengt.
Om met een ballistische slinger de snelheid van een kogel te bepalen zal men steunen op het behoud van impulsmoment t.o.v. A en het behoud van energie na de botsing. Het behoud van impulsmoment levert (met index k voor de kogel):
:<math>\textstyle dm_kv_k = (I_a + m_kd^2)\omega </math>
Als de slinger uitwijkt over een hoek θ krijgt men:
:<math>\textstyle (I_a + m_kd^2)\omega^2/2 = (m_s + m_k)gr(1-\cos\theta) </math>
| |||