Klassieke Mechanica/Statica/Virtuele arbeid: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
→Samengesteld systeem met één vrijheidsgraad: formule als elders ----dAb +> |
k correctie van typ- en stijlfouten |
||
Regel 6:
De methode van de virtuele arbeid vertrekt van de energie-beschouwing van het systeem. In differentiaalvorm wordt dit voor 1 puntmassa:
:<math> \sum \vec{F_i}\cdot d\vec{r} = m\vec{a}\cdot d\vec{r} </math>
In het linkerlid staat de differentiaal van de arbeid van de uitwendige krachten. Integreren van deze uitdrukking tussen twee posities geeft de arbeid die nodig is voor deze overgang. Een nulpunt van de integrand is een
:<math>d \vec{r} = \vec{v}\,dt </math>
als
Regel 13:
Deze differentiaal heeft nog altijd de dimensie van een arbeid. Het nulpunt moet komen van:
:<math> \sum \vec{F_i}\cdot \vec{v} = 0 </math>
Deze uitdrukking kan nu nul zijn als er wel een som van krachten is maar deze loodrecht staat op de snelheid. Dit is o.a. het geval bij krachten in sommige ideale verbindingen met de omgeving. Deze krachten wisselen geen arbeid uit met het systeem of omdat hun aangrijpingspunt stilstaat of omdat de verplaatsing steeds loodrecht staat op de kracht. Ze kunnen dus weggelaten worden in bovenstaande som. Meer algemeen: bij de methode van de virtuele arbeid moeten we geen rekening houden met de ideale verbindingen maar alleen met de
De dimensie van bovenstaande formule is echter geen arbeid meer maar vermogen.
==Voorbeeld 1==
[[Afbeelding:virtArbAfb1.png|right]]
Voor de slinger is het duidelijk dat G loodrecht zal staan op v in de onderste stand. Dit is dus een evenwichtspositie van de slinger.
=Veralgemeende coördinaten en vrijheidsgraden=
Alhoewel in dit voorbeeld de positie van de puntmassa in een tweedimensioneel systeem m.b.v. twee coördinaten moet
Het '''aantal vrijheidsgraden van een systeem''' is '''het aantal onafhankelijke parameters dat nodig is om de positie van het systeem eenduidig te bepalen, bij behoud van de bestaande verbindingen'''. Deze parameters noemt men de '''veralgemeende coördinaten q<sub>i</sub>'''.
Regel 48:
Bij reële onvervormbare (of starre) voorwerpen vormen de inwendige krachten ook ideale verbindingen. We kunnen dus ook werken met de verplaatsingen (of snelheden) van de aangrijpingspunten van krachten op reële onvervormbare voorwerpen.
Regel 61:
==Voorbeeld 2==
[[afbeelding:VirtArbTakel.png|right]]
De krachten om de vaste katrollen op hun plaats te houden leveren geen arbeid en worden dus niet in rekening gebracht (ideale verbindingen met de omgeving). De uitdrukking voor het evenwicht wordt dus:
:<math>\vec{L} \cdot \vec{v_1} + \vec{S} \cdot \vec{v_2} = 0 </math>
:<math>\vec{a} \cdot \vec{b}=a.b.\cos\theta</math> met θ de hoek tussen de vectoren a en b.
Verder
:L.v<sub>1</sub>.cos 180° + S.v<sub>2</sub>.cos 0° = 0
:-L.v<sub>1</sub> + S.3.v<sub>1</sub> = 0
Regel 77:
:<math>\vec{v_i} = \sum_j{\frac{\partial \vec{r_i}}{\partial q_j}.\frac{dq_j}{dt}}</math>
Wanneer men dit invoert in de vorige
:<math> \sum \vec{F_i}\cdot \vec{v_i} = \sum_j{ \sum_i{ \vec{F_i}\cdot \frac{\partial \vec{r_i}}{\partial q_j}.\frac{dq_j}{dt} }} = 0 </math>
Voor een
Voor evenwicht zal men een nulpunt moeten hebben voor de bijdrage volgens de raaklijn aan de kromme van elke onafhankelijke veranderlijke, van elke veralgemeende coördinaat. Dit betekent dat voor elke q<sub>j</sub> moet gelden :
Regel 92:
Dit is een systeem met '''2 vrijheidsgraden'''. De positie van de massa langs de staaf kan gewijzigd worden zonder dat de hoek van de staaf verandert en omgekeerd. We nemen als veralgemeende coördinaten de afstand r en de hoek θ. Het bijhorend parameternet ziet er dan uit als op de figuur hiernaast.
De snelheid <math>\vec{v}</math> kan dus gesplitst worden in een component <math>\vec{v_r}</math>, veroorzaakt door een verandering van r en gericht volgens de staaf en naar beneden, en <math>\vec{v_{\theta}} </math> veroorzaakt door de verandering van θ en loodrecht op de staaf en naar links (r en θ zijn in feite poolcoördinaten: zie [[Klassieke_Mechanica/Kinematica#Poolcoordinaten|kinematica: poolcoördinaten]]). Hier zijn dit orthogonale componenten, maar dit hoeft niet. Opsplitsen volgens deze componenten levert:
:<math>\vec{F} \cdot\ (\vec{v_r} + \vec{v_{\theta}}) + \vec{G} \cdot (\vec{v_r} + \vec{v_{\theta}}) = (\vec{F} + \vec{G}) \cdot \vec{v_r} + \vec{G} \cdot \vec{v_{\theta}}
= 0 </math>
Regel 115:
met i lopend over alle krachten en j over alle vrijheidsgraden.
De factor δq<sub>j</sub> staat hier niet voor een ingebeelde verplaatsing, zoals meestal gezegd wordt, maar voor de aanduiding van de onafhankelijke variabele. Het nulpunt moet komen van de
De gewoonte om deze uitdrukking als een differentiaal te schrijven is in de praktijk zeer nuttig. Voor een systeem met één vrijheidsgraad zullen alle termen immers in functie van één veralgemeende coördinaat moeten uitgedrukt worden, moeten dus alle termen eindigen op dezelfde δq. Als dit niet het geval is moeten er supplementaire verbanden tussen de gebruikte parameters gezocht worden. Indien er meerdere vrijheidsgraden zijn zal men groeperen naar de verschillende δq<sub>j</sub> en moet de coëfficiënt van elke δq<sub>j</sub> nul zijn:
| |||