Wikibooks

Klassieke Mechanica/Statica/Virtuele arbeid: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Vorige wijzigingVolgende wijziging →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Huibc (overleg | bijdragen)
1.749 bewerkingen
k correctie van typ- en stijlfouten
Huibc (overleg | bijdragen)
1.749 bewerkingen
k correctie van typ- en stijlfouten
Regel 111:
 
=De klassieke formulering=
Bij evenwicht moet de energiebijdrage voor elke veralgemeende coördinaat nul zijn. Het blijkt dat het differentiëren van de veralgemeende coördinaat naar de tijd een overbodige bewerking is want deze term kan altijd weggedeeld worden. Men zou zich dus kunnen beperken tot het differentiëren van de <math>\vec{r_i}</math> naar de q<sub>j</sub>. Klassiek echter schrijft men de evenwichstvoorwaardeevenwichtsvoorwaarde van de virtuele arbeid A onder de vorm van een '''differentiaal''' en met de specifieke delta &delta;. Men krijgt dan:
:<math>\delta A = \sum_i{\vec{F_i} \cdot \delta\vec{r_i}} = \sum_j{ (\sum_i{ \vec{F_i}\cdot \frac{\partial \vec{r_i}}{\partial q_j})\delta q_j }} = 0 </math>
met i lopend over alle krachten en j over alle vrijheidsgraden.
Regel 192:
Het tweede probleem is het berekenen van de kracht geleverd door een eenvoudige '''ruitvormige krik'''.
[[afbeelding:VirtArbRuitCrick.png|right|Ruitvormige krik]]
In plaats van te rekenen met de kracht op de zwengel, zullen wezal rechtstreeks met het moment rekenengerekend worden. De evenwichtsvoorwaarde is dan :
:<math>\vec{G}\cdot\delta\vec{r_A} + \vec{M}\cdot\delta\vec{\theta} = 0</math>
WeMen voerenvoert een klassiek assenkruis in, met oorsprong in C. De virtuele arbeid geleverd door het gewicht kan opnieuw geschreven worden als:
:-G.&delta;y<sub>A</sub>
WeMen hebbenheeft nu echter twee parameters, y<sub>A</sub> en &theta;, terwijl dit duidelijk een systeem is met één vrijheidsgraad. WeEr moetenmoet dus een verband vindengezocht worden tussen &delta;y<sub>A</sub>, de verplaatsing van A, en de verdraaiing van de zwengel. In dit verband speelt de schroefdraad in B natuurlijk een centrale rol. Het verband tussen verdraaiing van zwengel en de verplaatsing van B wordt gegeven door de spoed van de schroefdraad. Deze spoed S wordt uitgedrukt in cm/toer : de lineaire verplaatsing veroorzaakt door een omwenteling van 1 toer. Bij &theta; in radialen in plaats van toeren heeft men :
:<math>\Delta(BD) = \pm S\frac{\Delta\theta}{2\pi}</math>
of met differentialen:
:<math>\delta(BD) = \pm S\frac{\delta\theta}{2\pi}</math> &nbsp;&nbsp;(a)
Om te weten welk teken te gebruiken steunenwordt wegesteund op het feit dat draaien in de richting van het moment de last omhoog doet bewegen en dat dan de afstand BD kleiner wordt. Bij draaien in de richting van het moment is het scalair product van M en &delta;&theta; positief en gewoon M.&delta;&theta;. De evenwichtsvoorwaarde wordt nu :
:-G.&delta;y<sub>A</sub> + M.&delta;&theta; = 0
'''Nota''': wanneer men met de kracht op de hendel zou willen werken en L de lengte van de hendel is, dan zou de verplaatsing van het aangrijpingspunt van de kracht L.&delta;&theta; zijn. De virtuele arbeid geleverd door die kracht wordt dan F.L.&delta;&theta;, waarin F.L = M. Men komt dus op dezelfde formules uit.
 
WeMen hebbenheeft verder:
:y<sub>A</sub> = 2a cos&alpha; &nbsp; waaruit &delta;y<sub>A</sub> = -2a sin&alpha;.&delta;&alpha;
Alles invullen in vorige uitdrukking:
:-G.-2a sin&alpha;.&delta;&alpha; + M.&delta;&theta; = 0 &nbsp;&nbsp;&nbsp; (b)
Om een verband te vinden tussen &delta;&theta; en &delta;&alpha; drukkendrukt wemen de verandering van BD uit in functie van beide. Als de last omhoog beweegt moet de afstand BD kleiner worden. WeMen moetenmoet dus het minteken kiezen in (a). WeMen drukken BDdrukt nu ook BD uit als functie van &alpha; : BD=2a.sin&alpha; . Hieruit halenhaalt wemen:
:&delta;(BD)=2a.cos&alpha;.&delta;&alpha;
Alles invullen levert :
Regel 218:
Bij &alpha;=0 wordt het gewicht G opgenomen door de staven zonder dat de stang BD erbij komt kijken (in theorie). Dit is een speciale stand, waarin de vergelijkingen feitelijk niet meer opgaan. Dit is typisch voor de methode van de virtuele arbeid: singulariteiten van de formules duiden op speciale standen waarin de oorspronkelijke vergelijkingen niet gelden.
 
Dit voorbeeld laat ook duidelijk de kracht zien van de methode van de virtuele arbeid. Men moet het systeem niet ontbinden in zijn onderdelen. Voor de nodige verbanden redeneert men op verplaatsingen, wat relatief eenvoudig is en wat men zich veel concreter kan voorstellen dan krachten. Maar het blijft daardoor ook een soort "black box"-systeem. Men krijgt een verband tussen de krachten op twee of meer punten van het systeem, maar over de manier waarop die inwendig overgedragen worden, krijgt men geen informatie.
 
==Berekenen van verbindingskrachten==
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.