Klassieke Mechanica/Lagrange: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 80:
==De Lagrangiaan==
Wanneer de inwerkende krachten afleidbaar zijn van een [[Klassieke_Mechanica/Elementaire_dynamica#Speciaal_geval_:_potentiaal_krachten_en_behoud_van_energie| potentiële energie]] V, dan geldt dat de virtuele arbeid kan geschreven worden in functie van de veralgemeende
:<math>\delta A = -\sum_j \frac{\partial V}{\partial q_j}\delta q_j</math>
M.a.w. de
:<math> Q_j = \frac{\partial V}{\partial q_j}</math>
Daar de potentiële energie normaal alleen afhangt van de positie en niet van de snelheid, kan de vorige formule van de vergelijkingen van Lagrange dan ook geschreven worden als:
:<math>\frac{d}{dt}(\frac{\partial (T-V)}{\partial \dot q_j}) - \frac{\partial (T-V)}{\partial q_j}= 0 </math> voor elke q<sub>j</sub>
Men voert nu een grootheid in die men de '''Lagrangiaan L''' noemt: '''L = T - V'''. Hiermede kan de vorige vergelijking eenvoudiger geschreven worden als:
:<math>\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}) - \frac{\partial L}{\partial q_j}= 0 </math> voor elke q<sub>j</sub>
Dit wordt soms de '''tweede vorm van de vergelijkingen van Lagrange''' genoemd.
Regel 100:
Alhoewel men bij bovenstaande afleiding ondersteld heeft dat de potentiaalfunctie enkel afhangt van de veralgemeende coördinaten q<sub>j</sub> en niet van de veralgemeende snelheden, kan het formalisme ook gebruikt worden bij potentiaalfuncties waarvoor geldt:
:<math>Q_j = \frac{\partial V}{\partial q_j} + \frac{d}{dt}(\frac{\partial V}{\partial \dot q_j})</math>
Dit soort functies komt o.a. voor bij de studie van
'''Nota :''' de vergelijkingen van Lagrange kunnen ook via [[w:Variatierekening| variatierekenen]] afgeleid worden. Waarschijnlijk is dit zelfs de manier waarop Lagrange zelf ze afgeleid heeft.
==Speciale gevallen==
| |||