Klassieke Mechanica/Centrale kracht: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 278:
=Totale energie=
Er wordt nu aangetoond dat de totale energie enkel afhangt van de halva grote as a.
In het begin van dit hoofdstuk werd er reeds aan herinnerd dat de potentiële energie in een gravitatieveld kan geschreven worden als -km/r. Voor de kinetische energie wordt teruggekeerd naar de formule A hierboven, die opgelost wordt naar v<sup>2</sup>:
:<math>v^2 = \frac{k^2}{c^2}(\epsilon^2 -1) + \frac{2k}{r}</math>
Hoger werd onder C afgeleid dat
:<math> a = \frac{p}{1-\epsilon^2} </math> <br />
en anderzijds is er p = c<sup>2</sup>/k . Vult men dat alles in in vorige uitdrukking dan krijgt men:
:<math>v^2 = \frac{-k}{a} + \frac{2k}{r}</math>
:<math> E_{kin} = \frac{mv^2}{2} = \frac{-mk}{2a} + \frac{mk}{r}</math>
:<math> E_{totaal} = E_{kin} + E_{pot} = \frac{-mk}{2a} + \frac{mk}{r} -\frac{mk}{r} = \frac{-mk}{2a}</math>
Deze betrekking zou dus ook kunnen gebruikt worden om de grote as uit te rekenen en daarmede dan de omlooptijd. Men kan ook gemakkelijk controleren dat de formule klopt voor een cirkelbaan. Het blijkt dus dat de lanceringshoek φ geen invloed heeft op de grote as noch op de omlooptijd, maar alleen op de excentriciteit van de baan. Aan het einde van de paragraaf over satellietbanen werd verwezen naar een applet waarmede dit zeer duidelijk geïllustreerd wordt.
=Aarde niet raken=
de eis dat de aarde iet mag geraakt worden komt neer op het eisen dat r<sub>perigeum</sub> groter moet zijn dan R<sub>a</sub>, de straal van de aarde.
:<math> R_a = \frac{2r_0q_0\sin^2 \varphi}{1+\epsilon}</math>
Deze uitdrukking wordt opgelost naar ε
:<math> \epsilon = \frac{2r_0q_0\sin^2 \varphi}{R_a} - 1 </math>
Als men deze uitdrukking kwadrateert, kan men ε<sup>2</sup> vervangen door de uitdrukking uit B. Verder uitwerken en rekening houdend met r<sub>0</sub> = R<sub>a</sub> + h levert:
:<math> q_0 = \frac{R_a.h}{(R_a+h)^2\sin^2 \varphi - R_a^2} </math>
Wanneer deze uitdrukking groter wordt dan 1 dan betekent dit dat het onmogelijk is om de aarde te ontwijken met de gegeven lanceerpositie en snelheid.
Wanneer men loodrecht op de aardstraal lanceert, dan vereenvoudigd deze formule zich tot:
:<math> q = \frac{R_a.h}{(R_a+h)^2 - R_a^2} = \frac{1}{2 + h/R_a}</math>
| |||