Klassieke Mechanica/Centrale kracht: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 299:
:<math> \epsilon = \frac{2r_0q_0\sin^2 \varphi}{R_a} - 1 </math>
Als men deze uitdrukking kwadrateert, kan men ε<sup>2</sup> vervangen door de uitdrukking uit B. Verder uitwerken en rekening houdend met r<sub>0</sub> = R<sub>a</sub> + h levert:
:<math> q_0 > q_{crit} = \frac{R_a.h}{(R_a+h)^2\sin^2 \varphi - R_a^2} </math>
Daar ondersteld wordt dat men niet in het perigeum lanceert, moet deze uitdrukking groter blijven dan 0,5.
Wanneer men loodrecht op de aardstraal lanceert, dan vereenvoudigd deze formule zich tot:
:<math>
==Overgangsbaan==
[[afbeelding:transferOrbit.png|right| Hohmann transfer orbit]]
Reeds in 1925 had een mijnheer Hohmann uitgerekend hoe een ruimtetuig met behulp van twee versnellingen naar een eerste cirkelbaan naar een andere cirkelbaan zou kunnen overgebracht worden. Men noemt deze baan daarom de Hohmann overgangsbaan of in het Engels "Hohmann transfer orbit".
De berekening maakt gebruik van de hoger vermelde formule voor de totale energie, die hier herschreven wordt als:
:<math> \frac{mv^2}{2} - \frac{km}{r} = \frac{-mk}{2a}</math>
Opgelost naar v<sup>2</sup> levert dit:
:<math> v^2 = k(\frac{2}{r} - \frac{1}{a})</math>
Voor de eerste cirkelbaan met straatl r<sub>1</sub> heeft men natuurlijk dat v<sub>1</sub> = k/r<sub>1</sub>. Voor de snelheid op de ellipsvormige baan in het apogeum moet gelden:
:<math> v_p^2 = k(\frac{2}{r_1} - \frac{2}{r_1+r_2}) = \frac{2kr_2}{r_1(r_1 + r_2)}</math>
In het onderste punt, het perigeum voor de ellipsbaan, moet de snelheid van het ruimtetuig dus opgevoerd worden met een waarde:
:<math> \Delta v_p = v_p - v_1 = \sqrt{\frac{2kr_2}{r_1(r_1 + r_2)}} - \sqrt{\frac{k}{r_1}} = \sqrt{\frac{k}{r_1}}(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1(r_1 + r_2)}}-1)</math>
Analoog heeft men voor het bovenste punt van de ellipsbaan:
:<math> v_a^2 = 2k\frac{r_1}{r_2(r_1 + r_2)} </math>
En voor de versnelling in het apogeum vindt men:
:<math> \Delta v_a = v_2 - v_a = \sqrt{\frac{k}{r_2}}(1 - \sqrt{\frac{2r_1}{r_2(r_1 + r_2)}})</math>
De tijd die nodig is voor de overgang is de helft van de omloopstijd op de ellipsbaan:
:<math> T_H = \pi\sqrt{\frac{(r_1+r_2)^3}{8k}}</math>
De 8 in de noemer is afkomstig van de derde macht van de noemer in a=(r<sub>1</sub>+r<sub>2</sub>)/2.
Meer hierover kan men vinden in het artikel van de Engelse wikipedia [[w:en:Hohmann_transfer_orbit| Hohmann transfer orbit]]
=De parametervergelijking=
[[afbeelding:ellipsParamVgl.png|right|parametervergelijking voor de ellips]]
Er bestaat een parametervergelijking voor de ellips:<br />
<math>\textstyle x = a\cos\theta</math><br />
<math>\textstyle y = b\sin\theta</math><br />
Dit kan grafisch uitgewerkt worden in een constructie met twee concentrische cirkels, één met straat a en de andere met straat b. Vanuit het gemeenschappelijk centrum wordt een lijn getrokken onder een hoek θ die beide cirkels snijdt. Het snijpunt met de grote cirkel levert de x-coördinaat, het snijpunt met de kleine cirkel de y-coördinaat. Bemerk dat de lijn zelf normaal niet door het punt van de ellips wijst. De hoek θ die hier gebruikt wordt heeft dus niets te maken met de θ uit de vergelijking in poolcoördinaten.
| |||