Klassieke Mechanica/Centrale kracht: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 338:
<math>\textstyle y = b\sin\theta</math><br />
Dit kan grafisch uitgewerkt worden in een constructie met twee concentrische cirkels, één met straat a en de andere met straat b. Vanuit het gemeenschappelijk centrum wordt een lijn getrokken onder een hoek θ die beide cirkels snijdt. Het snijpunt met de grote cirkel levert de x-coördinaat, het snijpunt met de kleine cirkel de y-coördinaat. Bemerk dat de lijn zelf normaal niet door het punt van de ellips wijst. De hoek θ die hier gebruikt wordt heeft dus niets te maken met de θ uit de vergelijking in poolcoördinaten.
<br clear="all" />
=Afstotingskracht=
De formule van Binet kan ook gebruikt worden voor een afstotende kracht. Wanneer het gaat om een afstotende kracht die afneemt met het kwadraat van de afstand, vindt men als baan opnieuw een kegelsnede. Er zijn echter heel wat verschillen met vorige behandeling. Bij de aantrekkingskracht werd vooral het berekenen van banen van satellieten beoogt. Hiervoor werd de onderstelling gebruikt dat de massa van de satelliet verwaarloosbaar is t.o.v. de massa van de planeet. Bij afstotende krachten gaat het echter meestal over microscopische fenomenen, zoals de afstoting van een elektron door een ander negatief geladen deeltje. De vermelde onderstelling gaat dan niet meer op.
Wanneer men opnieuw vertrekt van de formule van Binet, dan heeft een afstotende kracht een positieve projectie te hebben op de r-as. De term in het rechterlid wordt dus negatief. Om dit voor de lezer duidelijker te maken zal dit rechterlid daarom geschreven worden als -k'/r<sup>2</sup> of -k'u<sup>2</sup>. De kracht is k'/r<sup>2</sup>. Normaal wordt hier gewoon k gebruikt i.p.v. -k'.
De algemene formule voor de baan wordt dan:
:<math>r=\frac{-L_0^2/(k'\mu)}{1 + \epsilon\cos(\theta - \theta_0)} </math>
Laat de referentierichting voor θ = 0 zo gekozen worden dat θ<sub>0</sub> = 0 is. ε is hier groter dan 1: het deeltje wordt ondersteld van buiten het krachtveld te komen en het opnieuw te verlaten. Daar r positief moet zijn, zullen alleen de hoeken aanvaardbaar zijn waarvoor de noemer negatief is.
:<math>\textstyle 1 + \epsilon\cos\theta < 0</math>
:<math> \cos\theta < \frac{-1}{\epsilon}</math>
Dit betekent dat alleen een bereik rond θ = 180° toegelaten is. Dit betekent dat het afstotingscentrum nu het brandpunt is dat buiten de toegelaten parabooltak ligt.
[[afbeelding:hyperbool2.png|right|Hyperboolbaan bij afstotende kracht]]
In deze figuur liggen de asymptoten onder een hoek van 30° met de horizontale. cos 30° = 0,866 zodat ε hier 1,1547 zou moeten zijn en de toegelaten hoeken liggen tussen 150° en 210°. Bemerk dat de kleinste afstand tot de hyperbool nu gegeven wordt door 1-ε in de noemer (θ = 180°). Voor de absolute waarde moet men immers schrijven &epsilon-1 en dat is het grootst als de absolute waarde van cos &theta = 1 is.
Bij afstotende krachten wordt de baan meestal gedraaid getekend zodat de asymptoot waarlangs het deeltje nadert horizontaal is. Als β het toegelaten bereik is (hier 60°), dan moet men de figuur dus draaien over β/2 of θ<sub>0</sub> = -β/2.
Om ε te bepalen zal nu beroep gedaan worden op de uitdrukking voor de totale energie. Daar er behoud van energie geldt is dat een invariant van de beweging. Men kan het zich dus gemakkelijk maken en de berekening uitvoeren voor een punt waar die het eenvoudigst is. Dat punt is in het punt dat het dichtst bij het brandpunt ligt, op afstand r<sub>1</sub>. De snelheid is normaal de som van een radiale en een transversale component, maar in dat punt is de radiale component = 0. Daar is v = rω, waarbij de hoeksnelheid uit het behoud van impulsmoment gehaald wordt. Dus:
:<math> E_{tot} = T + V = \frac{m}{2}(r_1\dot{\theta})^2 + \frac{k'}{r_1}</math>
Hierin moeten volgende substituties uitgevoerd worden:
:<math> r_1 = \frac{-L_0^2/k'\mu}{1-\epsilon}</math>
:<math> \dot{\theta} = \frac{L_0}{r_1\mu}</math>
Na wat rekenwerk komt men tot de uitdrukking:
:<math> E_{tot} = \frac{k'^2\mu}{2L_0^2}(\epsilon^2 - 1) </math>
:<math> \epsilon = \sqrt{1 + \frac{2L_0^2E_{tot}}{k'^2\mu}}</math>
Deze uitdrukking kan ook gebruikt worden bij een aantrekkingskracht mits k'= Gmm'. Bij een aantrekkingskracht is de totale energie = 0 voor een paraboolbaan en negatief voor een ellipsbaan. Men kan gemakkelijk vaststellen dat dit leidt tot resp. een ε = 1 en een ε kleiner dan 1. In de praktijk zal men bij een afstotende kracht de kinetische energie op verre afstand gebruiken waarmede het deeltje nadert
Men kan een mooi applet vinden dat de verstrooiing illustreert van een invallende bundel deeltjes op een afstotende kracht bij de applets van B.Surendranath Reddy op [http://fys.kuleuven.be/pradem/applets/suren/Applets.html http://fys.kuleuven.be/pradem/applets/suren/Applets.html]] of op [http://surendranath.tripod.com/Applets.html http://surendranath.tripod.com/Applets.html] onder Dynamics, Central forces, collision of many particles.
Er zal hier niet verder ingegaan worden op het onderwerp van afstotende krachten.
| |||