Wiskunde/Pythagoras: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
kGeen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
== De stelling van Pythagoras ==
De '''stelling van Pythagoras''' is waarschijnlijk de bekendste stelling in de [[wiskunde]]. De stelling dankt zijn naam aan de [[w:Griekenland|Griekse]] [[w:wiskundige|wiskundige]] [[Pythagoras]]. 'Zijn' stelling was overigens alleen maar nieuw voor de Grieken. In [[w:Soemerië|Soemerië]] was het resultaat al veel langer bekend. Belangrijker nog dan de kennis van de stelling was het leveren van een [[w:wiskundig bewijs|bewijs]] daarvoor; daarbij waren de Grieken (Pythagoras of een van zijn leerlingen) wel de eersten. De stelling zegt iets over de relatie tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde van een rechthoekige driehoek.
In de rechthoekige driehoek ABC zijn de zijden a en b de rechthoekszijden. De zijde c noemen we de schuine zijde of ''[[w:hypotenusa|hypotenusa]]''.
De stelling van Pythagoras luidt:
:"In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden."
<p>Of nog korter: <math>a^2 + b^2 = c^2</math></p>▼
<math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>▼
Anders geformuleerd:
De stelling van Pythagoras is een van de oudste stellingen uit de oudheid. Volgens de legende was Pythagoras zo in z'n nopjes met zijn ontdekking van de stelling dat hij een offer aan de goden bracht in de vorm van een paar ossen.
== Bewijzen ==
[[Afbeelding:Pythagorean proof.png]]
{|
|-----
|
[[Afbeelding:Pythagoras3hoek.jpg]]
|
Er bestaan vele tientallen bewijzen van deze stelling. Een van de eenvoudigste vormen maakt gebruik van vier rechthoekige driehoeken, zoals in de afbeelding hiernaast. Telkens zijn een korte en een lange zijde in elkaars verlengde geplaatst.
<br />
De lengte en breedte van de zijden van het vierkant zijn (a+b), dus de oppervlakte van het grote vierkant is (a+b)<sup>2</sup>.<br />
De oppervlakte is ook gelijk aan de som van de vier driehoeken (4 × ½ab) en de oppervlakte van het binnenste vierkant, dat oppervlakte c<sup>2</sup> heeft.
<br />
Dus (a+b)<sup>2</sup>=2ab + c<sup>2</sup>.<br />
Uitwerken van het kwadraat links geeft:<br />
a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup> = 2ab + c<sup>2</sup>
Dus:<br />
a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup><br />
[[Q.E.D.]]
|}
Er is nog een makkelijk bewijs met behulp van de [[cosinusregel]]:
omdat je een rechthoekige driehoek hebt, is hoek <math>\gamma</math> altijd 90°.
:<math>\mathbf{cos(90) = 0}</math>
:<math>2ab\cdot 0=0</math>
:<math>\mathbf{c^2 = a^2 + b^2 - 0 = a^2 + b^2}</math>
== Pythagorese drietallen ==
De kleinste gehele waarden die aan de stelling van Pythagoras voldoen zijn 3,4,5 (3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> = 5<sup>2</sup>). Uiteraard voldoet ook elk veelvoud hiervan, zoals 6<sup>2</sup> + 8<sup>2</sup> = 10<sup>2</sup>.
Er zijn oneindig veel combinaties van gehele getallen die aan de vergelijking x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=z<sup>2</sup> voldoen. (5,12,13) is een andere combinatie. Deze combinaties worden ook wel [[w:Pythagorese drietallen|Pythagorese drietallen]] genoemd.
== Externe links ==
*[http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Een website met 40 bewijzen voor de Stelling van Pythagoras]
| |||