Klassieke Mechanica/Basisbegrippen: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k →Vectorieel product: spatie |
|||
Regel 177:
==Product van drie vectoren==
==="Box product"===
[[afbeelding:Boxproduct.png|right|box product]]
:<math>\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{a}\cdot\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} </math>
Het resultaat komt overeen met de inhoud van een balk gebouwd op deze 3 vectoren. De haakjes zijn in feite overbodig daar het tweede argument van het scalair product een vector moet zijn.
===Dubbel vectorproduct===
:<math> \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})</math><br />
Hier zijn de haakjes wel noodzakelijk om het resultaat eenduidig te maken. Men kan deze formule herschrijven in een andere vorm. Hiervoor stelt men
:<math>\vec{d} = \vec{b}\times\vec{c}</math><br />
De x-component van het resultaat kan dan geschreven worden als:
:<math>\displaystyle x = a_yd_z - a_zd_y = a_y(b_xc_y-b_yc_x) - a_z(b_zc_x-b_xc_z) </math>
Beide positieve termen bevatten b<sub>x</sub> en beide negatieve bevatten c<sub>x</sub>. Groeperen levert:
:<math>\displaystyle x = b_x(a_yc_y+a_zc_z) - c_x(a_yb_y+a_zb_z) </math>
Door bijvoegen van <math>\textstyle a_xb_xc_x - a_xb_xc_x </math> bekomt men uitdrukking die kan herschreven worden als:
:<math> x = b_x(\vec{a}\cdot\vec{c})-c_x(\vec{a}\cdot\vec{b}) </math></br>
Voor de gehele uitdrukking krijgt men:
:<math> \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c}) - \vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})</math><br />
Bemerk dat de vectoren die in het dubbele vectorproduct tussen de haakjes staan, nu de vectoren voor de scalaire producten vormen.
<br clear="all">
| |||