Klassieke Mechanica/Centrale kracht: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 66:
:<math> \mu r^2 \dot{\theta} = C \quad \quad \quad \quad \quad(1)</math>
:<math> \mu\ddot{r} - \mu r \dot{\theta}^2 + \frac{\partial V}{\partial r} = 0\quad (2)</math>
Uit de Lagrangiaan blijkt dat θ een [[Klassieke_Mechanica/Lagrange#Speciale_gevallen|cyclische coördinaat]] is. Dat leidt dus tot een invariante van de beweging, in dit geval tot het behoud van impulsmoment. De constante C in (1) is niets anders dan het impulsmoment L<sub>0</sub>.
Als men de vergelijking van de baan, r = f(θ), wil bekomen, dan doet men dit normaal door de veranderlijke t (tijd) te elimineren tussen de twee opgeloste differentiaalvergelijkingen. Hier zou men echter de differentiaalvergelijking voor de baan willen bekomen zonder die differentiaalvergelijkingen op te lossen. daarvoor wordt beroep gedaan op de kettingregel van het differentiëren:
Regel 88:
De oplossting hiervan is van de vorm:
:<math> u = \frac{1}{r}= C.\cos(\theta - \theta_0)+\frac{k\mu^2}{L_0^2}</math>
Of in
:<math> r=\frac{L_0^2/k\mu^2}{1 + (CL_0^2/k\mu^2)\cos(\theta - \theta_0)} </math>
Hierin zijn C en θ<sub>0</sub> integratieconstanten, die uit de randvoorwaarden moeten bepaald worden. Dit kan vereenvoudigd worden tot:
| |||