Abstracte algebra/Groepentheorie: verschil tussen versies

3.427 bytes toegevoegd ,  12 jaar geleden
Beginnetje
(Nieuwe pagina aangemaakt met '{{Wis def|Groep | Een groep is een verzameling <math>G</math> met een bewerking <math>*</math> die aan de volgende eigenschappen voldoet: # <math>*:G\times G\to G : (g...')
 
(Beginnetje)
Als eerste onderwerp in dit boek zullen we de structuur van een [[w:groep (wiskunde)|groep]] behandelen. Hieronder staat de definitie van een groep.
 
==Definitie==
 
{{Wis def|Groep
| Een groep is een verzameling <math>G</math> met een bewerking <math>*\star</math> die aan de volgende eigenschappen voldoet:
# <math>*\star :G\times G\to G : (g_1,g_2)\mapsto g_1*\star g_2</math> is een afbeelding. De bewerking is dus inwendig en overal bepaald.
# <math>\forall g_1,g_2,g_3\in G:(g_1*\star g_2)*\star g_3=g_1*\star (g_2*\star g_3)=g_1*\star g_2*\star g_3</math>, de bewerking is associatief.
# <math>\exists e\in G: \forall g\in G: g*\star e=g=e*\star g</math>, er bestaat een neutraal element.
# <math>\forall g\in G: \exists h\in G: g*\star h=e=h*\star g</math>, ieder element heeft een invers.<br />We noteren het invers ook als <math>h=g^{-1}</math>
 
We noteren een groep over de verzameling <math>G</math> met de bewerking <math>\star </math> als <math>(G,\star )</math>.
}}
 
Naast een groep heb je ook een commutatieve groep, meestal spreken we van een [[w:abelse groep|abelse groep]], genoemd naar de Noorse wiskundige [[w:Niels Henrik Abel|Niels Henrik Abel]]. Een abelse groep is een groep waar de bewerking bovendien abels is :<math>\forall g,h\in G:g\star h=h\star g</math>.
 
===Voorbeelden en tegenvoorbeelden===
 
Bij bovenstaande definitie kunnen we enkele voorbeelden geven:
 
* Eenvoudige voorbeelden over veelgebruikte getallen verzamelingen:
** <math>(\mathbb{N},+)</math> is '''geen''' groep want het element 3 heeft geen invers in <math>\mathbb{N}</math>. (<math>3+x=0\Rightarrow x=-3\notin\mathbb{N}</math>)
**<math>(\mathbb{Z},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
**<math>(\mathbb{Z}_0,\cdot)</math> is '''geen''' groep: het element 2 heet geen invers in <math>\mathbb{Z}</math>. (<math>2\cdot x=1\Rightarrow x=1/2\notin\mathbb{Z}</math>)
**<math>(\mathbb{Q},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
**<math>(\mathbb{Q}_0,\cdot)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
**<math>(\mathbb{R},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
**<math>(\mathbb{R}_0,\cdot)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
**<math>(\mathbb{C},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
**<math>(\mathbb{C}_0,\cdot)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
** Extra'tje: de [[w:quaternion|quaternionen]] van Hammilton. Dit is een uitbreiding op de complexe getallen met de extra eenheden j en k volgens de volgende manier:
**:<math>\mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in\mathbb{R}\}</math>
**:Met de bewerkingen: <math>i^2=j^2=k^2=-1, ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, ik=-j\text{ en }kj=-i</math>
**:Ook daarmee kan je twee dergelijke groepen maken: <math>(\mathbb{H},+)</math> en <math>(\mathbb{H}_0,\cdot)</math>
* <math>(\mathbb{Z}_2,+)=(\{0,1\},+)</math>. Waarbij <math>1+1=0</math>
*:Of in het algemeen: voor alle <math>n\in\mathbb{N}</math> is <math>(\mathbb{Z}_n,+)</math> een groep.
 
 
* Voor elke <math>n\in \mathbb{N}</math> zijn de volgende twee structuren groepen:
*:<math>\left(\left\{\left.
\begin{bmatrix}
\lambda_1& 0 & \cdots &0 \\
0&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\\
0&0& & \lambda_n
\end{bmatrix}
\right|\lambda_i\in\mathbb{R}\right\},+\right)</math> met als neutraal element de nulmatrix.
*:<math>\left(\left\{\left.
\begin{bmatrix}
\lambda_1& 0 & \cdots &0 \\
0&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\\
0&0& & \lambda_n
\end{bmatrix}
\right|\lambda_i\in\mathbb{R}_0\right\},\cdot\right)</math> met als neutraal element de eenheidsmatrix <math>\mathbb{I}_n</math>.
 
*[[w:Dihedrale groep|Dieëdergroepen]]. <math>D_n=(\{1,a1a^2,\ldots,a^{n-1},b,ab,a^2b,\ldots,a^{n-1}b\},\circ)</math> voor uitleg, kijk naar de [[w:en:Dihedral group|engelstalige wikipagina]].
 
* Het direct product van twee groepen is opnieuw een groep: <math>(\mathbb{Z}_2\times D_3,\star)</math> is een groep met <math>\star :(\mathbb{Z}_2\times D_3)\times(\mathbb{Z}_2\times D_3)\to \mathbb{Z}_2\times D_3:\left((z_1,d_1),(z_2,d_2)\right)\mapsto (z_1+z_2,d_1\circ d_2)</math>.
2.049

bewerkingen

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.