Versie van 25 feb 2010 12:05 bewerken Sanderd17 (overleg \| bijdragen) 2.049 bewerkingen Nieuwe pagina aangemaakt met '{{Wis def\|Groep \| Een groep is een verzameling <math>G</math> met een bewerking <math></math> die aan de volgende eigenschappen voldoet: # <math>:G\times G\to G : (g...'		Versie van 25 feb 2010 13:03 bewerken ongedaan maken Sanderd17 (overleg \| bijdragen) 2.049 bewerkingen Beginnetje Volgende wijziging →
Regel 1: Als eerste onderwerp in dit boek zullen we de structuur van een [[w:groep (wiskunde)\|groep]] behandelen. Hieronder staat de definitie van een groep. ==Definitie== {{Wis def\|Groep \| Een groep is een verzameling <math>G</math> met een bewerking <math>\star</math> die aan de volgende eigenschappen voldoet: # <math>\star :G\times G\to G : (g_1,g_2)\mapsto g_1\star g_2</math> is een afbeelding. De bewerking is dus inwendig en overal bepaald. # <math>\forall g_1,g_2,g_3\in G:(g_1\star g_2)\star g_3=g_1\star (g_2\star g_3)=g_1\star g_2\star g_3</math>, de bewerking is associatief. # <math>\exists e\in G: \forall g\in G: g\star e=g=e\star g</math>, er bestaat een neutraal element. # <math>\forall g\in G: \exists h\in G: g\star h=e=h\star g</math>, ieder element heeft een invers.<br />We noteren het invers ook als <math>h=g^{-1}</math> We noteren een groep over de verzameling <math>G</math> met de bewerking <math>\star </math> als <math>(G,\star )</math>. }} Naast een groep heb je ook een commutatieve groep, meestal spreken we van een [[w:abelse groep\|abelse groep]], genoemd naar de Noorse wiskundige [[w:Niels Henrik Abel\|Niels Henrik Abel]]. Een abelse groep is een groep waar de bewerking bovendien abels is :<math>\forall g,h\in G:g\star h=h\star g</math>. ===Voorbeelden en tegenvoorbeelden=== Bij bovenstaande definitie kunnen we enkele voorbeelden geven: Eenvoudige voorbeelden over veelgebruikte getallen verzamelingen: <math>(\mathbb{N},+)</math> is '''geen''' groep want het element 3 heeft geen invers in <math>\mathbb{N}</math>. (<math>3+x=0\Rightarrow x=-3\notin\mathbb{N}</math>) <math>(\mathbb{Z},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan. <math>(\mathbb{Z}_0,\cdot)</math> is '''geen''' groep: het element 2 heet geen invers in <math>\mathbb{Z}</math>. (<math>2\cdot x=1\Rightarrow x=1/2\notin\mathbb{Z}</math>) <math>(\mathbb{Q},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan. <math>(\mathbb{Q}_0,\cdot)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan. <math>(\mathbb{R},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan. <math>(\mathbb{R}_0,\cdot)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan. <math>(\mathbb{C},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan. <math>(\mathbb{C}_0,\cdot)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan. Extra'tje: de [[w:quaternion\|quaternionen]] van Hammilton. Dit is een uitbreiding op de complexe getallen met de extra eenheden j en k volgens de volgende manier: :<math>\mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk\|a,b,c,d\in\mathbb{R}\}</math> :Met de bewerkingen: <math>i^2=j^2=k^2=-1, ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, ik=-j\text{ en }kj=-i</math> *:Ook daarmee kan je twee dergelijke groepen maken: <math>(\mathbb{H},+)</math> en <math>(\mathbb{H}_0,\cdot)</math> <math>(\mathbb{Z}_2,+)=(\{0,1\},+)</math>. Waarbij <math>1+1=0</math> :Of in het algemeen: voor alle <math>n\in\mathbb{N}</math> is <math>(\mathbb{Z}_n,+)</math> een groep. Voor elke <math>n\in \mathbb{N}</math> zijn de volgende twee structuren groepen: :<math>\left(\left\{\left. \begin{bmatrix} \lambda_1& 0 & \cdots &0 \\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\\ 0&0& & \lambda_n \end{bmatrix} \right\|\lambda_i\in\mathbb{R}\right\},+\right)</math> met als neutraal element de nulmatrix. :<math>\left(\left\{\left. \begin{bmatrix} \lambda_1& 0 & \cdots &0 \\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\\ 0&0& & \lambda_n \end{bmatrix} \right\|\lambda_i\in\mathbb{R}_0\right\},\cdot\right)</math> met als neutraal element de eenheidsmatrix <math>\mathbb{I}_n</math>. [[w:Dihedrale groep\|Dieëdergroepen]]. <math>D_n=(\{1,a1a^2,\ldots,a^{n-1},b,ab,a^2b,\ldots,a^{n-1}b\},\circ)</math> voor uitleg, kijk naar de [[w:en:Dihedral group\|engelstalige wikipagina]]. Het direct product van twee groepen is opnieuw een groep: <math>(\mathbb{Z}_2\times D_3,\star)</math> is een groep met <math>\star :(\mathbb{Z}_2\times D_3)\times(\mathbb{Z}_2\times D_3)\to \mathbb{Z}_2\times D_3:\left((z_1,d_1),(z_2,d_2)\right)\mapsto (z_1+z_2,d_1\circ d_2)</math>.

Abstracte algebra/Groepentheorie: verschil tussen versies