Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Sanderd17 (overleg | bijdragen)
Nieuwe pagina aangemaakt met ' \begin{definition} Als <math>\textstyle (F,V,+)</math> een vectorruimte is over het veld <math>\textstyle F</math>, dan defini\"eren we een bilineaire vorm als <math>...'
(geen verschil)

Versie van 27 feb 2010 17:23

\begin{definition} Als een vectorruimte is over het veld , dan defini\"eren we een bilineaire vorm als , lineair in beide componenten. \end{definition}

We noemen een bilineaire vorm symmetrisch a.s.a.

Stel dat we een symmetrische bilineare vorm hebben, dan is

de bijhorende kwadratische vorm (quadratic form). Over deze kwadratische vorm hebben we wat meer informatie:

Dus weten we, als we in een veld zijn waar \footnote{een veld waar Fout bij het parsen (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \textstyle 2=0} is bijvoorbeeld het veld , dit veld is veel gebruikt in computer wetenschappen}, dan is

Matrix voorstellingen

Gegeven een symetrische bilineaire vorm op een vectroruimte   kunnen we steeds een matrix van die vorm opstellen. Kies eerst een basis   van  . Dan kan je iedere   schrijven t.o.v. de basisvectoren:

 

Dan is

 

Aangezien we met een symmetrische vorm werken wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrische is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm.

Basisverandering

We zullen onderzoeken wat er gebeurd bij basisverandering. Stel dat je een nieuwe basis   Dan weten we dat er een inverteerbare matrix   bestaat zodat  . We kunnen dus een vector   op twee manieren ontbinden:

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.