Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies

2.392 bytes toegevoegd ,  12 jaar geleden
(aanvulling)
Stel dat we met het veld <math>\textstyle \mathbb{C}</math> werken, in de vorige sectie hebben we bewezen dat iedere kwadratische vorm als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten kan geschreven worden, <math>\textstyle q(v)=a_1x_1^2+\ldots+a_rx_r^2</math>. Als we nu voor alle <math>\textstyle i</math> de wortel van <math>\textstyle a_i</math> nemen, dan krijgen we dat <math>\textstyle q(v)=x^{'2}_1+\ldots+x^{'2}_r</math> met <math>\textstyle x'_i=\sqrt{a_i}x_i</math>.
 
We zouden nu natuurlijk hetzelfde willen doen voor het veld dat het meest gebruikt is: het reële veld. In <math>\textstyle \mathbb{R}</math> hebben we ook dat <math>\textstyle q(v)=a_1x_1^2+\ldots+a_r x_r^2</math>. Neem nu
 
:<math> \left\{ \begin{matrix} \sqrt{a_i} \text{ als }a_i>0\\
\sqrt{-a_i} \text{ als }a_i<0 \end{matrix} \right. </math>
 
Aangezien we maar <math>\textstyle r</math> termen opnemen en niet alle <math>\textstyle n</math> termen kunnen we veronderstellen dat <math>\textstyle a_i\neq0</math> is. We kunnen daarenboven nog een afspraak maken dat de eerste <math>\textstyle p</math> coëfficiënten positief zijn en de laatste <math>\textstyle r-p</math> negatief:
 
:<math> \left\{\begin{matrix} \forall i\leq p:a_i>0\\
\forall i>p:a_i<0 \end{matrix}\right. </math>
 
Dan bestaat er een basis zodat <math>\textstyle q(v)=x_1^{'2}+\ldots+x_p^{'2}-x_{p+1}^{'2}-\ldots-x_r^{'2}</math> met
 
:<math> \left\{ \begin{matrix} \sqrt{a_i} \text{ als }i\leq p\\
\sqrt{-a_i} \text{ als }i>p \end{matrix} \right. </math>
 
Hieruit volgt de stelling van Sylvester:
 
{{Wis stelling| Het aantal termen <math>\textstyle r</math> en de signatuur <math>\textstyle p-(r-p)</math> van een kwadratische vorm is uniek bepaald, onafhankelijk van de gekozen basis. }}
 
{{Wis bewijs| We bewijzen de stelling van Sylvester uit het ongerijmde.
 
Stel dat <math>\textstyle q(v)=x_1^{'2}+\ldots+x_p^{'2}-x_{p+1}^{'2}-\ldots-x_r^{'2}</math> en ook <math>\textstyle q(v)=y_1^{'2}+\ldots+y_q^{'2}-y_{q+1}^{'2}-\ldots-y_r^{'2}</math> met <math>\textstyle p\neq q</math>. We kunnen veronderstellen dat <math>\textstyle p<q</math>. Neem nu
 
:<math> V_1=\{v\in V|x_1=x_2=\ldots=x_p=0=y_{q+1}=y_{q+2}=\ldots=y_n\} </math>
 
In die verzameling hebben we <math>\textstyle p+(n-q)=n+(p-q)<n</math> voorwaarden. Er zijn dus zeker oplossingen buiten de nul oplossing. Neem nu <math>\textstyle v\neq0\in V</math>, dan is <math>\textstyle q(v)\leq 0</math> (t.o.v. de eerste basis) en <math>\textstyle q(v)\geq0</math> (t.o.v. de tweede basis). Dus is <math>\textstyle q(v)=0</math> en is <math>\textstyle y_1=y_2=\ldots=y_q=0</math> dus is <math>\textstyle v=0</math> wat een contradictie is. De enige mogelijkheid is dus dat <math>\textstyle p=q</math>. }}
 
Hieruit volgt dat een symmetrisch bilineair product positief is als <math>\textstyle p=r</math> of anders gezegd als de signatuur gelijk is aan <math>\textstyle r</math> en het is definiet als daarenboven <math>\textstyle r=n</math>. Een positief definiet symmetrisch bilineair product wordt ook een inproduct genoemd.
2.049

bewerkingen

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.