Abstracte algebra/Groepentheorie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
aanvulling |
||
Regel 57:
* Het direct product van twee groepen is opnieuw een groep: <math>(\mathbb{Z}_2\times D_3,\star)</math> is een groep met <math>\star :(\mathbb{Z}_2\times D_3)\times(\mathbb{Z}_2\times D_3)\to \mathbb{Z}_2\times D_3:\left((z_1,d_1),(z_2,d_2)\right)\mapsto (z_1+z_2,d_1\circ d_2)</math>.
==Orde van een groep en een element==
De orde van een eindige groep is gewoon het aantal elementen in een groep. Men zegt dat de orde oneingig is als de groep geen eindig aantal elementen heeft. De orde van een element <math>\textstyle g\in G</math> is de kleinste macht <math>\textstyle k\in\mathbb{N}_0</math> waarvoor geldt dat <math>\textstyle g^k=e</math>. Indien er voor geen enkele macht <math>\textstyle k</math> geldt dat <math>\textstyle g^k=e</math>, dan zegt men dat de orde van <math>\textstyle g</math> oneindig is. Men kan de orde van een element ook zien als de orde van de groep die voortgebracht wordt door dat element.
==Deelgroepen en nevenklassen==
{{Wis def| Als <math>\textstyle (G,\star)</math> een groep is en <math>\textstyle H\subseteq G</math> zodat <math>\textstyle (H,\star)</math> een groep is. Dan noemen we <math>\textstyle (H,\star)</math> een deelgroep van <math>\textstyle (G,\star)</math>. }}
{{Wis def| Met <math>\textstyle (G,\star)</math> een groep en <math>\textstyle (H,\star)</math> een deelgroep van <math>\textstyle G</math>. Dan is voor <math>\textstyle g\in G</math>
:<math> g\star H=\{g\star h|h\in H\} </math>
een linkernevenklasse van <math>\textstyle H</math> en
:<math> H\star g=\{h\star g|h\in H\} </math>
een rechternevenklasse van <math>\textstyle H</math>. }}
| |||