2.415
bewerkingen
geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
|
Een bilineaire vorm die aan de paren (x,y) en (y,x) dezelfde waarde toevoegt noemen we symmetrisch.
==Definitie 20.2==
Een bilineaire vorm ''B'' op ''V'' heet '''symmetrisch''' als voor alle x en y ∈ V geldt: :<math>\!\,B(x,y)=B(y,x).</math>
===Matrixvoorstelling===
Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> een basis is van ''V'', kunnen we de vectoren ''x'' en ''y'' in deze basis uitdrukken:
:<math>x=\sum_{i=1}^n \xi_i v_i </math> en <math>y=\sum_{i=1}^n \eta_i v_i </math>
==Stelling 20.2==
De matrix β die bij een symmetrische bilineaire vorm ''B'' op ''V'' hoort is symmetrisch.
===Bewijs===
Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> de betrokken basis is, geldt:
:<math>\!\beta_{ij}= B(v_i,v_j)= B(v_j,v_i)=\beta_{ji}</math>
Stel dat we een symmetrische bilineare vorm hebben, dan is
| |||