Abstracte algebra/Isomorfismestelling voor groepen: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Nieuwe pagina aangemaakt met '==De eerste isomorfismestelling voor groepen== {{Wis stelling| Als <math>f:(G_1,\star)\to(G_2,\triangle)</math> een groepsmorfisme is, dan is :<math>\left(\frac{G_1}{...' |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 26:
: ''Is <math>\overline{f}</math> surjectief? ''
Aangezien je met alle elementen uit <math>G_1</math> het volledige beeld kan vormen en alle elementen uit een zelfde nevenklasse een zelfde beeld hebben kan je dus ook met alle nevenklassen de volledige beeld verzameling vormen.}}
==Geavanceerd voorbeeld==
neem de groep <math>(G,\star)</math> en creëer daaruit de verzameling <math>\mathrm{Aut}(G)=\left\{f:(G,\star)\to(G,\star)|f\text{ is een bijectief groepsmorfisme}\right\}</math>, dan is <math>(\mathrm{Aut}(G),\circ)</math> de automorfismengroep van <math>(G,\star)</math>. We kunnen eenvoudig controleren dat dit een groep is.
Construeer nu <math>\forall g\in G</math> de afbeelding
:<math>I_g:G\to G:x\mapsto g\star x \star g_{-1}</math>
Aangezien de groep <math>(G,\star)</math> niet abels hoeft te zijn is dit zeker niet de identieke afbeelding maar ze lijkt wel sterk op de identieke. We controleren eerst als <math>I_g\in \mathrm{Aut}(G)</math>.
'''Is <math>I_g</math> een groepsmorfisme?'''
:<math>\begin{align}
I_g(x\star y)&=g\star x\star y\star g^{-1}\\
&=g\star x \star g^{-1} \star g \star y \star g^{-1}\\
&=I_g(x)\star I_g(y)
\end{align}</math>
'''Is <math>I_g</math> injectief?'''
:<math>\begin{align}
I_g(x)&=I_g(y)\\
\Rightarrow g\star x \star g^{-1}&=g\star y \star g^{-1}\\
\Rightarrow x&=y
\end{align}</math>
'''Is <math>I_g</math> surjectief?'''
:We vragen ons af als <math>\forall z\in G:\exists x\in G: I_g(x)=z</math>.
:<math>\begin{align}
g\star x \star g^{-1} &= z\\
\Leftrightarrow x &= g^{-1}\star z \star g
\end{align}</math>
We hebben dus dat <math>I_g\in\mathrm{Aut}(G)</math>, we noemen <math>I_g</math> een inwendig automorfisme.
| |||