Abstracte algebra/Isomorfismestelling voor groepen: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
|||
Regel 58:
We hebben dus dat <math>I_g\in\mathrm{Aut}(G)</math>, we noemen <math>I_g</math> een inwendig automorfisme.
Nu we weten dat <math>I_g\in\mathrm{Aut}(G)</math> kunnen we een afbeelding definiëren
: <math>
\begin{align}
I&:(G,\star)\to(\mathrm{Aut}(G),\circ)\\
&:g\mapsto I_g
\end{align}</math>
We vragen ons af als <math>I</math> een groepsmorfisme is, m.a.w. is <math>I_{g_1\star g_2}=I_{g_1}\circ I_{g_2}</math>?
:<math>\begin{align}
\forall x\in G: I_{g_1\star g_2} &= g_1\star g_2\star x \star (g_1\star g_2)^{-1}\\
&= g_1\star g_2\star x \star g_2^{-1} \star g_1^{-1}\\
&= I_{g_1}(g_2\star x \star g_2^{-1})\\
&= I_{g_1}\circ I_{g_2}(x)
\end{align}</math>
Als we de kern van <math>I</math> berekenen, dan krijgen we het volgende:
:<math>\begin{align}
\mathrm{Ker}(I) &= \{g\in G | I_g = I_d\}\\
&=\{g\in G | \forall x\in G: g\star x \star g^{-1} = x\}\\
&=\{g \in G|\forall x\in G: x\star g = g \star x \}\\
&= \text{Het centrum van }G = Z(G) \triangleleft G
\end{align}</math>
| |||