Klassieke Mechanica/Statica: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 408:
==Doorbuiging van een balk==
Een tweede voorbeeld van een vervorming van een continu medium wordt de doorbuiging van een balk beschouwd. Voor de eenvoud van deze introductie wordt ondersteld dat de balk een rechthoekige doornsnede heeft en dat die doorsnede over de ganse lengt dezelfde is. Verder wordt ondersteld dat de vervormingen klein zijn, zodat de doorsnedes steeds loodrecht blijven op de zijden van de balk. Men beschouwt de doorbuiging onder een gelijkmatig verdeelde last, in eerste instantie het eigen gewicht van de balk. Ook wordt ondersteld dat de einden van de balk niet ingeklemd zijn.
[[afbeelding:Bending.svg|right|doorbuigende balk]]
Om de vorm van de balk te kunnen afleiden moet eerst de [[w:Wet van Hooke| wet van Hooke]] in herinnering gebracht worden. Deze stelt dat de vervorming van een lichaam binnen een groot gebied (het elasticiteitsgebied) evenredig is met kracht. Als men een te grote kracht aanlegt, komt men in het plastische gebied, waar de evenredigheid niet meer opgaat. Voor een veer is de evenredigheidsfactor de stijfheid k, voor een kabel of ander stuk materiaal is het de elasticiteitsmodulus E, ook wel [[w:Young's_modulus| modulus van Young genoemd]].
Men kan de wet dan schrijven onder de vorm:
:<math>\sigma = E\epsilon</math>
met σ de spanning (kracht per oppervlak), ε de relatieve uitrekking (Δ L/L).
De eenheid van E is N/m<sup>2</sup> of Pa (Pascal). In de praktijk levert dit veel te grote waarden en gebruikt men de N/mm<sup>2</sup> of Mpa (Megapascal). Staal heeft een elasticiteitsmodulus van rond 2.10<sup>5</sup> MPa.
[[afbeelding:Poutre_moment_flechissant_contrainte.svg|right|Spanningen in de doorsnede]]
Wanneer een balk doorbuigt zoals in de figuur, dan wordt de onderzijde uitgerokken en de bovenzijde samengedrukt. Tussenbeide in ligt een '''neutraal vlak''' waarin geen vervorming optreedt. Als de doorsneden symmetrisch is, zal dit neutraal vlak in het midden liggen. Wanneer men een doorsnede loodrecht op de lengterichting van de balk bekijkt, dan zullen deze vervormingen toenemen met de afstand van het neutrale vlak. Volgens de wet van Hooke ontstaan er dan spanningen, die een moment M<sub>z</sub> opbouwen t.o.v. een as in het neutrale vlak en loodrecht op de zijden van de balk.
Voor een klein stukje van de gebogen balk kan men de vorm benaderen door de osculerende cirkel met straal ρ. De neutrale lijn heeft dan een lengt R.dθ, een punt erboven of eronder een lengte (R+y)dθ. De totale vervorming is dus ε = y.dθ
[[afbeelding:Poutre_rayon_courbure.svg|right|buiging en kromtestraal]]
De relatieve vervorming is:
:<math>\epsilon = \frac{y.d\theta}{\rho.d\theta} = \frac{y}{\rho}</math>
Onderstelt men nu dat er geen resulterende horizontale spanning is in de balk, dan moet de som van de spanningen door de vervormingen 0 zijn. Dit onderstelt dat het neutrale vlak door het zwaartepunt van de doorsnede passeert. Het moment van die spanningen is echter niet 0! Het wordt berekend door het moment van de spanningen te integreren over de oppervlakte S van de doorsnede. Hiervoor wordt elke spanning vermenigvuldigd met de afstand tot de z-as:
:<math> M_z = \int_S \sigma_x.y.dS = \int_S E\frac{y}{\rho}.y.dS = \frac{E}{\rho}\int_S y^2 dS</math>
De integraal noemt men het '''oppervlaktetraagheidsmoment I'''. Zoals het traagheidsmoment, dat bij de rotatie gebruikt werd, wordt er vermenigvuldigd met het kwadraat van een afstand, maar hier wordt over het oppervlak geïntegreerd i.p.v. over het volume. Men noemt die y<sup>2</sup> ook de gewichtsfactor of kortweg het gewicht. Dus:
:<math> I_z = \int_S y^2 dS</math>
Voor een rechthoekige doorsnede met hoogt h en breedte b levert dit I = h<sup>3</sup>b/12 = h<sup>2</sup>S/12 , met S het totale oppervlak van de doorsnede. Men ziet dat de formules analoog zijn als die voor het inertietraagheidsmoment, alleen komt er nu S in voor i.p.v. de totale massa m.
De kromtestraal ρ wordt gedefinieerd als:
:<math> \frac{1}{\rho} = \frac{y''}{\sqrt{1+ y'^2}}</math>
Het gaat hier over doorbuigingen die met het blote oog nauwelijks merkbaar zijn. y' is dus klein en de uitdrukking herleidt zich tot 1/ρ = y'& Indien deze onderstelling niet opgaat, zal men de correcte formule moeten gebruiken.
Hiermede kan men de basisvergelijking voor de buiging van een balk opstellen:
:<math> \frac{d^2y(x)}{dx^2} = \frac{M_z(x)}{EI_z}</math>
Deze formule wordt de '''Euler-Bernouilli vergelijking''' genoemd. Ze geeft de vervorming van een klein stukje balk als er op beide zijden een moment M, maar met tegenstelde zin, uitgeoefend wordt.
Maar wat is het moment dat in deze formule voorkomt? Hiervoor moet men een snede aanbrengen in de balk, d.w.z dat men zich inbeeldt dat de balk op een willekeurige plaats x doorgesneden wordt loodrecht op de x-as. Vervolgens vraagt men welke krachten en momenten men op beide vrijgekomen doorsneden moet uitoefenen opdat beide stukken op hun plaats zouden blijven. Men kan nu het kleine stukje balk van hierboven beschouwen als een stukje tussen 2 dicht bij elkaar liggende sneden. Als de hoek dθ naar 0 gaat worden dit de 2 oppervlakken van de stukken links en rechts van de snede en wordt het moment in de formule het moment dat het ene stuk op het andere uitoefent. Op elk stuk kan een kracht en een moment aangrijpen, elk met 3 componenten. Als er alleen verticale uitwendige krachten op de balk werken, dan zal er in de snede ook alleen een verticale kracht nodig zijn op basis van de formules voor het evenwicht van elk stuk. Als er geen uitwendig moment volgens de x-as (torsie volgens de langsrichting) of volgens de y-as (torsie volgens de verticale) uitgeoefend wordt, dan zal er ook in de snede geen moment nodig zijn volgens die assen. Hier is vooral het moment volgens de z-as belangrijk. Als men een snede op positie x beschouwt, dan kan men de momenten die door het stuk rechts uitgeoefend worden op het stuk links, startend in x=0, op 2 manieren berekenen: door het evenwicht der momenten te beschouwen t.o.v. de snede of door de momenten uit te rekenen uitgeoefend door het rechtse deel op het linkse. Voor de eenvoud van de zaak volgt men hier de eerste methode. Men moet dan rekenen met<br />
[[afbeelding:Buiging-balk.pdf|right|buiging van een balk]]
- een moment van de kracht in het steunpunt A. De kracht in elk steunpunt moet de helft zijn van het gewicht. F<sub>A</sub> = G/2 = gμL/2 , met g de gravitatieversnelling en μ de massa per meter. Het tegengestelde moment is dan x.F<sub>A</sub> = gμLx/2<br />
- het moment van het stuk balk links van de snede. Dit stuk heeft lengte x en het gewicht ervan grijpt aan in het midden ervan. Het tegengestelde moment is -(gμx)(x/2)<br />
Het totale moment in x is dus: (gμ/2)(Lx- x<sup>2</sup>). Invullen in de vergelijking:
:<math> y''(x) = \frac{g\mu}{2EI}(Lx-x^2)</math>
Na integreren krijgt men:
:<math> y'(x) = \frac{g\mu}{2EI}(\frac{Lx^2}{2} -\frac{x^3}{3}) + C_1</math>
Men kan de waarde van C<sub>1</sub> nu al bepalen uit het feit dat de raaklijn horizontaal moet zijn in het midden van de balk, dus uit y'(L/2) = 0. Na invullen wordt y'(x):
:<math> y' = \frac{g\mu}{2EI}(\frac{Lx^2}{2} -\frac{x^3}{3}) - \frac{g\mu\,L^3}{24EI} =
\frac{g\mu}{2EI}(\frac{Lx^2}{2} -\frac{x^3}{3}-\frac{L^3}{12})</math>
Nogmaals integreren levert:
:<math> y(x) = \frac{g\mu}{2EI}(\frac{Lx^3}{6} -\frac{x^4}{12}-\frac{L^3x}{12}) + C_2</math>
Uit het feit dat y(0) = 0 is, volgt dat C<sub>2</sub> = 0. Men krijgt:
:<math> y(x) = \frac{g\mu}{24EI}(2Lx^3 -x^4-L^3x)</math>
De maximale uitwijking is in het midden:
:<math> |y(L/2)|=\frac{5g\mu}{24.16.EI}L^4</math>
Dat betekent dat de doorbuiging, voor een zelfde type balk, toeneemt met de 4de macht van de lengte.
===Ingeklemde balk===
=Referenties=
| |||