Klassieke Mechanica/Statica: verschil tussen versies

==Doorbuiging van een balk==

 

Om de vorm van de balk te kunnen afleiden moet eerst de [[w:Wet van Hooke| wet van Hooke]] in herinnering gebracht worden. Deze stelt dat de vervorming van een lichaam binnen een groot gebied (het elasticiteitsgebied) evenredig is met kracht. Als men een te grote kracht aanlegt, komt men in het plastische gebied, waar de evenredigheid niet meer opgaat. Voor een veer is de evenredigheidsfactor de stijfheid k, voor een kabel of ander stuk materiaal is het de elasticiteitsmodulus E, ook wel [[w:Young's_modulus| modulus van Young genoemd]].

Men kan de wet dan schrijven onder de vorm:

De eenheid van E is N/m² of Pa (Pascal). In de praktijk levert dit veel te grote waarden en gebruikt men de N/mm² of Mpa (Megapascal). Staal heeft een elasticiteitsmodulus van rond 2.10⁵ MPa.

 

Wanneer een balk doorbuigt zoals in de figuur, dan wordt de onderzijde uitgerokken en de bovenzijde samengedrukt. Tussenbeide in ligt een '''neutraal vlak''' waarin geen vervorming optreedt. Als de doorsneden symmetrisch is, zal dit neutraal vlak in het midden liggen. Wanneer men een doorsnede loodrecht op de lengterichting van de balk bekijkt, dan zullen deze vervormingen toenemen met de afstand van het neutrale vlak. Volgens de wet van Hooke ontstaan er dan spanningen, die een moment M_z opbouwen t.o.v. een as in het neutrale vlak en loodrecht op de zijden van de balk.

 

Om de differentiaalvergelijking op te stellen beschouwt men een zeer klein stukje van de gebogen balk met dikte Δx. Men kan de vorm dan benaderen door de osculerende cirkel met straal ρ. De neutrale lijn heeft dan een lengt R.dθ, een punt erboven of eronder een lengte (R+y)dθ. De totale vervorming is dus y.dθ

De relatieve vervorming is:

:<math>\epsilon = \frac{y.d\theta}{\rho.d\theta} = \frac{y}{\rho}</math>

Onderstelt men nu dat er geen resulterende horizontale spanning is in de balk, dan moet de som van de spanningen door de vervormingen 0 zijn. Dit onderstelt dat het neutrale vlak door het zwaartepunt van de doorsnede passeert. Het moment van die spanningen is echter niet 0! Het wordt berekend door het moment van de spanningen te integreren over de oppervlakte S van de doorsnede. Hiervoor wordt elke spanning vermenigvuldigd met de afstand tot de z-as:

:<math> M_z = \int_S \sigma_x.y.dS = \int_S E\frac{y}{\rho}.y.dS = \frac{E}{\rho}\int_S y^2 dS</math>

 

Maar wat is het moment dat in deze formule voorkomt? Het kleine stukje dikte &Delta;x, waarvoor de formule geldt, kan zich op elke punt van de balk bevinden. Dan is het moment links het moment dat door het linkse deel van de balk, tot op die plaats, op het stukje uitgeoefend wordt en analoog voor rechts. Als geen ander moment op het stukje uitgeoefend wordt, dan moeten die momenten even groot zijn maar met tegengestelde zin. Als de dikte &Delta;x van dit stukje naar 0 gaat wordt dit herleid tot een vlak. Het moment in de formule is dus het moment dat het ene stuk van de balk op het andere uitoefent ter hoogte van dit vlak. Om een duidelijk zicht te hebben op die krachten en momenten, moet men een snede aanbrengen op die plaats. Men beeldt zich in dat de balk op die plaats doorgesneden wordt loodrecht op de x-as. Vervolgens zoekt men welke krachten en momenten men op beide vrijgekomen doorsneden moet uitoefenen opdat beide stukken op hun plaats zouden blijven. Op elk stuk kan een kracht en een moment aangrijpen, elk met 3 componenten. Volgens de 3e wet van Newton moet wat op het linkse deel aangrijpt even groot zijn als wat op het rechtse aangrijpt, maar met tegengestelde zin. Als er alleen verticale uitwendige krachten op de balk werken, dan zal er in de snede ook alleen een verticale kracht nodig zijn op basis van de formules voor het evenwicht van elk stuk. Als er geen uitwendig moment volgens de x-as (torsie volgens de langsrichting) of volgens de y-as (torsie volgens de verticale) uitgeoefend wordt, dan zal er ook in de snede geen moment nodig zijn volgens die assen. Hier is vooral het moment volgens de z-as belangrijk. Als men een snede op positie x beschouwt, dan kan men de momenten die door het stuk rechts uitgeoefend worden op het stuk links, startend in x=0, op 2 manieren berekenen: door het evenwicht der momenten te beschouwen t.o.v. de snede of door de momenten uit te rekenen uitgeoefend door het rechtse deel op het linkse. Voor de eenvoud van de zaak volgt men voor dit eerste voorbeeld de eerste methode. Men moet dan rekenen met<br />

- een moment van de kracht in het steunpunt A. De kracht in elk steunpunt moet de helft zijn van het gewicht. F_A = G/2 = g&mu;L/2 , met g de gravitatieversnelling en &mu; de massa per meter. Het tegengestelde moment is dan x.F_A = g&mu;Lx/2<br />

- het moment van het stuk balk links van de snede. Dit stuk heeft lengte x en het gewicht ervan grijpt aan in het midden ervan. Het tegengestelde moment is -(g&mu;x)(x/2)<br />

===Ingeklemde balk===

 

Als tweede voorbeeld wordt een balk beschouwd die maar aan één zijde vastgemaakt is. Voor evenwicht is dan vereist dat daar een inklemming is, die zowel een kracht als een moment kan uitoefenen op de balk. Omwille van dat bijkomende moment is het hier eenvoudiger om het moment in de snede te berekenen op basis van de kracht die op het rechtse stuk werkt. Dat is immers alleen het gewicht van dat stuk, in het midden ervan.

:<math> M_z = -\mu g(L-x)(L-x)/2 = (\mu g/2)(L-x)^2</math>

Als men met evenwicht van de momenten op het stuk links zou werken, dan moet men vertrekken van:

:<math>y''(x) = \frac{1}{EI}\left (\frac{-GL}{2} + F_Ax - \frac{\mu gx^2}{2}\right ) = \frac{\mu g}{2EI} (-L^2 + 2Lx -x^2)</math>

 

Als men de doorsnede van de balk vergroot in elke richting met een factor k, dan stijgt I met k⁴, maar &mu; met k². Netto stijgt de breuk &mu;/I dus met k². Als men 2 planken op elkaar legt, dan zal de draagkracht verdubbelen. Als men die 2 planken aan elkaar kan lijmen tot één balk van '''dubbele doorsnede, dan wordt de draagkracht 4 maal groter'''.

 

Bij belastingen in sommige punten zal men meerdere differentiaalvergelijkingen moeten opstellen omdat het moment in de snede rekening moet houden met die belasting als men de puntbelasting gepasseerd is.