Analyse/Limieten: verschil tussen versies

2.050 bytes toegevoegd ,  17 jaar geleden
k
Wijzigingen door 84.195.91.243 hersteld tot de versie na de laatste wijziging door Nijdam
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Pjetter (overleg | bijdragen)
k Wijzigingen door 84.195.91.243 hersteld tot de versie na de laatste wijziging door Nijdam
Regel 139:
Waarschijnlijk ben je ermee bekend dat je niet mag delen door nul, ook al weet je misschien niet waarom dat zo is. Laten we daar nu eens naar gaan kijken.
 
Stel je hebt een functie <math>f(x)=\frac{1}{x^2}</math> op het domein van de reële getallen <math>\left (x \in \masdfsthbbmathbb{R} \rfsdfightright )</math>.
 
In ieder punt van het domsdfdsfeindomein is deze functie gedefinieerd, behalve in het punt <math>x=0</math>. Laten we eens kijken wat er gebeurt als we proberen de limiet te bepalen van deze functie in het punt <math>x=0</math>:
 
df
:<math>\lim_{x \to 0sdfsdfsdf0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}</math>
 
===Vectoren===
Regel 154:
<tr><td style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top>
<table>
<tr><td align="right"><math>\lim_{gfdx\to c} k f(x)</math></td><td>=</td><td align='left"><math> k \cdot \lim_{x\to c} f(x) </math></td></tr>
<tr><td align="right"><math>gfdgfd\lim_{x\to c}\left ( f(x) + g(x) \right )</math></td><td>=</td><td align='left"><math> \lim_{x\to c} f(x) + \lim_{xkjhkjkjx\to c} g(x) </math></td></tr>
<tr><td align="right"><math>\lim_{x\to c} \left ( f(x)g(x) \right )</math></td><td>=</td><td align='left"><math> \ligfdgdfgdfgdfm_lim_{x\to c} g(x) \cdot \lim_{x\to c} f(x) </math></td></tr>
</table>
</table>
Regel 188:
 
==Voorbeelden==
 
De limiet van een '''constante functie'''.
 
Stel <math>f(x)=c</math> voor <math>x \in \R</math>, dan is:
:<math>\lim_{x \to p} f(x) = \lim_{x \to p} c = c</math>
<br />
 
De limiet van de '''identiteitsfunctie'''.
 
Stel <math>f(x)=x</math> voor <math>x \in \R</math>, dan is:
:<math>\lim_{x \to p} f(x) = \lim_{x \to p} x = p</math>
 
We proberen aan te tonen dat voor een gegeven <math>\epsilon</math> er een <math>\delta</math> bestaat, zodanig dat:
:<math>0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-p|=|x-p|< \epsilon</math>
 
 
Neem <math>\delta = \epsilon</math>, dan volgt het gevraagde direct.
<br />
 
De limiet van
:<math>\lim_{x \to 0} x \sin{ \frac {1}{x}}</math>
<math>|\sin{y}| \leq 1 </math>
<math>-1 \leq \lim_{x \to 0} \sin{\frac {1}{x}} \leq 1</math>
<math>\lim_{x \to 0} x = 0</math>
<math>\lim_{x \to 0} x \sin{ \frac {1}{x}} = \lim_{x \to 0} x * \lim_{x \to 0} \sin{\frac {1}{x}} = 0 </math>
 
 
:<math>\lim_{x \to 0} \sin x = 0</math>
 
<br>
De limiet van
:<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}</math>
We herschrijven de sinus in de vorm van een machtreeks
<math>\sin{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{{(-1)}^n}{{(2n+1)}!}x^{2n+1}}</math>
<math>\frac{\sin{x}}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} {\frac{{(-1)}^n}{{(2n+1)}!}x^{2n}}</math>
<math>\frac{\sin{x}}{x} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{{(-1)}^n}{{(2n+1)}!}x^{2n}}</math>
<math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} = 1 + \lim_{x\to 0} \left ( \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{{(-1)}^n}{{(2n+1)}!}x^{2n}} \right ) = 1 + 0</math>
<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math>
 
:<math>\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x} = 0</math>
 
:<math>\lim_{x \downarrow 0} \frac{1}{x} = \infty</math>
:<math>\lim_{x \uparrow 0} \frac{1}{x} = -\infty</math>
:<math>\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0</math>
 
:<math>\lim_{n \to \infty} \left ( \frac{n}{n+1} \right ) = 1</math>
 
De limiet van de integraal van de dichtheid van de '''standaardnormale verdeling'''.
:<math>\,\int_{-\infty}^\infty \, \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\end{matrix}e^{-\frac 12 x^2}{\rm d}x = 2\lim_{a \to \infty}\int_0^a\, \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\end{matrix} e^{-\frac 12 x^2}{\rm d}x = 1</math>
 
==Opgaven==
Regel 197 ⟶ 247:
===Punt===
===Functie===
fsdfsdfadsfsd
 
===Oneindig===
 
10.553

bewerkingen

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.