Klassieke Mechanica/Statica: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Huibc (overleg | bijdragen)
Huibc (overleg | bijdragen)
Regel 408:
 
==Doorbuiging van een balk==
===Euler-Bernouilli vergelijking===
 
Een tweede voorbeeld van een vervorming van een continu medium wordt de doorbuiging van een balk beschouwd. Voor de eenvoud van deze introductie wordt er ondersteld dat de balk een rechthoekige doornsnede heeft en dat die doorsnede over de ganse lengt dezelfde is. Verder wordt ondersteld dat de vervormingen klein zijn, zodat de doorsnedes steeds loodrecht blijven op de zijden van de balk. Men beschouwt de doorbuiging onder een gelijkmatig verdeelde last, in eerste instantie het eigen gewicht van de balk. Ook wordt ondersteld dat de einden van de balk niet ingeklemd zijn.
[[afbeelding:Bending.svg|right|250px|doorbuigende balk]]
Regel 440:
Hiermede kan men de basisvergelijking voor de buiging van een balk opstellen:
:<math> \frac{d^2y(x)}{dx^2} = \frac{M_z(x)}{EI_z}</math>
Deze formule wordt de '''Euler-Bernouilli vergelijking''' genoemd (zie in de Engelse Wikipedia onder [[w:en:Euler-Bernouilli_beam_equation| "Euler-Bernouilli beam equation"]]).. Ze geeft de vervorming van een klein stukje balk als er op beide zijden een moment M, maar met tegensteldetegengestelde zin, uitgeoefend wordt.
 
Maar wat is het moment dat in deze formule voorkomt? Het kleine stukje dikte &Delta;x, waarvoor de formule geldt, kan zich op elke punt van de balk bevinden. Dan is het moment links het moment dat door het linkse deel van de balk, tot op die plaats, op het stukje uitgeoefend wordt en analoog voor rechts. Als geen ander moment op het stukje uitgeoefend wordt, dan moeten die momenten even groot zijn maar met tegengestelde zin. Als de dikte &Delta;x van dit stukje naar 0 gaat wordt dit herleid tot een vlak. Het moment in de formule is dus het moment dat het ene stuk van de balk op het andere uitoefent ter hoogte van dit vlak. Om een duidelijk zicht te hebben op die krachten en momenten, moet men een snede aanbrengen op die plaats. Men beeldt zich in dat de balk op die plaats doorgesneden wordt loodrecht op de x-as. Vervolgens zoekt men welke krachten en momenten men op beide vrijgekomen doorsneden moet uitoefenen opdat beide stukken op hun plaats zouden blijven. Op elk stuk kan een kracht en een moment aangrijpen, elk met 3 componenten. Volgens de 3e wet van Newton moet wat op het linkse deel aangrijpt even groot zijn als wat op het rechtse aangrijpt, maar met tegengestelde zin. Als er alleen verticale uitwendige krachten op de balk werken, dan zal er in de snede ook alleen een verticale kracht nodig zijn op basis van de formules voor het evenwicht van elk stuk. Als er geen uitwendig moment volgens de x-as (torsie volgens de langsrichting) of volgens de y-as (torsie volgens de verticale) uitgeoefend wordt, dan zal er ook in de snede geen moment nodig zijn volgens die assen. Hier is vooral het moment volgens de z-as belangrijk. Als men een snede op positie x beschouwt, dan kan men de momenten die door het stuk rechts uitgeoefend worden op het stuk links, startend in x=0, op 2 manieren berekenen: door het evenwicht der momenten te beschouwen t.o.v. de snede of door de momenten uit te rekenen uitgeoefend door het rechtse deel op het linkse. Voor de eenvoud van de zaak volgt men voor dit eerste voorbeeld de eerste methode. Men moet dan rekenen met<br />
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.