Klassieke Mechanica/Elementaire dynamica: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 523:
- [http://en.wikipedia.org/wiki/Mass#Inertial_and_gravitational_mass Inertial and gravitational mass] in de Engelse Wikipedia<br />
- http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/en/Mass/1 : neem liefst de originele Engelse tekst, want de automatische vertaling is niet erg begrijpelijk
=Determinisme en chaos=
Met de vooruitgang van de fysica dacht men dat alle mechanische systemen in het heelal zich op een voorspelbare manier gedragen. Sommigen spraken zelfs over god als "le grand horloger de l'univers". Studies in de loop van de vorige eeuw toonden echter aan dat een systeem dat zich gedraagt volgens de wetten van de fysica, toch nog een onvoorspelbaar gedrag kan vertonen. "Onvoorspelbaar" is hier te begrijpen als het feit dat een zeer kleine verandering in de aanvangsvoorwaarden, na een korte tijd tot een ander gedrag of een andere baan leiden. Dit fenomeen noemt men "deterministische chaos", of meestal "chaotisch gedrag". De studie van dit gedrag, de karakteristieken ervan en de voorwaarden die ertoe leiden, heet de [[w:Chaostheorie|chaostheorie]]. Een simulatie van zulk een systeem met de computer geeft een mogelijk gedrag van het systeem, maar waarschijnlijk niet het werkelijke gedrag dat het zal volgen, zelfs al zou men het exact dezelfde aanvangssituatie kunnen geven. Elke numerieke simulatie gebeurt immers met een beperkte nauwkeurigheid en als kleine afwijkingen tot een afwijkend gedrag leiden, dan zullen deze kleine foutjes ook tot een andere voorspelling leiden dan het gedrag van het werkelijke systeem. Typisch zijn bv. de weersvoorspellingen, die na hoogstens 8 dagen zeer onbetrouwbaar worden.
Het blijkt dat elk systeem dat beheerst wordt door een niet-lineaire differentiaalvergelijking, chaotisch gedrag kan vertonen. Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin een onbekende functie en haar afgeleiden optreden. Als die functie en haar afgeleiden enkel in de eerste graad voorkomen, spreekt men van een lineaire differentiaalvergelijking, anders van een niet-lineaire differentiaalvergelijking. Als eenvoudig voorbeeld kan men de vergelijking van de slinger nemen:
:<math>l\ddot\theta + g\sin\theta = 0 </math>
De onbekende functie is θ(t). Daar sin θ geen lineaire functie is van θ, is dit geen lineaire differentiaalvergelijking. Om de zaken wat te vereenvoudigen, stelt men meestal dat voor kleine hoeken (in radialen) sin θ = θ. De vergelijking wordt dan:
:<math>l\ddot\theta + g\theta = 0 </math>
en dit is dan wel een lineaire differentiaalvergelijking met als oplossing <math>\theta(t) = \sin \sqrt{(g/l)}t</math>.
Er is aangetoond dat zelfs deze eenvoudige slinger, wanneer hij aangedreven wordt door een uitwendige periodische kracht, chaotisch gedrag kan vertonen. Het gaat dan over een systeem met als differentiaalvergelijking:
:<math>\ddot\theta + \gamma\dot\theta + \omega_0^2\sin\theta = A\cos\omega_e t </math>
waarin γ een dempingscoëfficiënt is, ω<sub>0</sub> is 2π x de eigenfrequentie van de slinger en ω<sub>e</sub> is 2π x de excitatiefrequentie. Zie hiervoor [[Klassieke_Mechanica/Bibliografie| Bibliografie]]: [fowles], p. 131-135.
Zeer bekend is ook de [[w:Van_der_Pol-oscillator| van der Pol-oscillator]]. van der Pol was een Nedrlandse natuurkundige, die de versterking van elektrische signalen m.b.v. de eerste elektronenbuizen bestudeerde, nl. de versterking door een triode.
==De slinger van Atwood==
Meer recent is de [[w:Slinger_van_ Atwood| slinger van Atwood]] (1982). De opstelling is afgeleid van het [[w:Toestel_van_Atwood| toestel van Atwood]] (1784). Dat is een middel om de aardversnelling g te meten via een sterk vertraagde valbeweging. Hiervoor worden twee bijna gelijke gewichten, M en m, verbonden via een koord dat over een katrol loopt. Als men het traagheidsmoment van de katrol mag verwaarlozen, wordt de versnelling van de beide massa's gegeven door:
: a = g(M-m)/(M+m)
Als M=110 g en m = 100 g krijgt men, bij g=9,81 m/s<sup>2</sup> een a = 0,467 m/s<sup>2</sup>
[[afbeelding:Swinging_Atwoods_Machine.svg|300px||right|Slinger van Atwood]]
Bij de slinger van Atwood (in het Engels: [[w:en:Swinging_Atwood's_machine| swinging Atwood's machine]] of SAM) (1982) laat men de kleine massa slingeren. De ophangpunten moeten kleine katrollen zijn zodat de kleine massa ook een volledige toer rond het ophangpunt kan maken zonder zich vast te zetten. Als deze massa verticaal onder haar ophangpunt passeert, dan trekt ze niet alleen met haar gewicht aan het touw, maar ook met een kracht die nodig is om netto de middelpuntzoekende versnelling te leveren die hoort bij een gekromde baan. Als de snelheid van de massa vrij groot is, kan ze zo de andere massa omhoog trekken en zelf naar beneden bewegen. Hierdoor zal de slingerbeweging trager worden en kan eventueel de grote massa de kleine opnieuw omhoog trekken.
Deze eenvoudige constructie blijkt een grote verscheidenheid aan gedragingen te vertonen, zelfs volledig chaotisch gedrag. Hieronder een paar banen voor verschillende aanvangsvoorwaarden. Het getal geeft de verhouding M/m.
[[afbeelding:3869.png|400px|left| slinger van Atwood]]
[[afbeelding:SAM 4179.png|400px|right| slinger van Atwood]]
<br clear="all" />
===Vergelijkingen===
De bewegingsvergelijkingen voor dit systeem kan men best opstellen met de [[Klassieke_Mechanica/Lagrange| methode van Lagrange]]. Hierbij vertrekt men van de potentiële en kinetische energie van het systeem. Het is een systeem met 2 vrijheidsgraden, met parameters r en θ. Als men de potentiële energie van de zwaartekracht nul stelt ter hoogte van het ophangpunt, kan de potentiële energie van de kleine massa geschreven worden als:
:<math>-mgr\cos\theta</math>
De potentiële energie van de grote massa wordt dan:
:<math>- Mg(l-d-r) = Mgr - Mg(l-d)</math>
waarin l de totale lengte van het touw is en de de afstand tussen de ophangpunten. De tweede term is een constante en heeft geen belang. Deze uitdrukking zal immers gedifferentieerd worden en dan valt die constante term weg. Men kan het weglaten van die term ook beschouwen als het kiezen van het nulniveau voor de potentiële energie van de zwaartekracht op een afstand r onder de beginpositie van M.
De kinetische energie van m zal uitgedrukt worden in poolcoördinaten. Er is immers ook een verplaatsing in de richting van het touw. Men krijgt voor de totale kinetische energie:
:<math>E_k = \frac{M\dot{r}^2}{2} + \frac{m}{2}(\dot{r}^2 + r^2\dot\theta^2)</math>
Dit levert als Lagrangiaan:
:<math>L = \frac{M\dot{r}^2}{2} + \frac{m}{2}(\dot{r}^2 + r^2\dot\theta^2) + gr(m\cos\theta - M)</math>
Dit leidt tot de volgende vergelijkingen:
:<math>(M+m)\ddot{r} - mr\dot\theta^2 - g(m\cos\theta -M) = 0</math>
:<math>2\dot{r}\dot\theta + r\ddot\theta + g\sin\theta =0 </math>
Bemerk dat in deze vergelijking geen massa's voorkomen. Voor toepassing in een simulatieprogramma moeten deze vergelijkingen opgelost worden naar de tweede afgeleide:
:<math> \ddot{r} = [mr\dot\theta^2 + g(m\cos\theta - M)]/(M+m) </math>
:<math>\ddot\theta = -(g\sin\theta + 2\dot{r}\dot\theta)/r</math>
Men kan de eerste vergelijking ook schrijven in functie van de verhouding tussen de 2 massa's: μ = M/m. Men krijgt dan:
:<math> \ddot{r} = [r\dot\theta^2 + g(\cos\theta - \mu)]/(1+\mu) </math>
Men kan meerdere simulaties zien in de Engelstalige bespreking van de slingen van Atwood (zie hoger). Video's van een experimentele opstelling kan men vinden op http://www-loa.univ-lille1.fr/~pujol/ . Een java programma om zelf te experimenteren kan men vinden op http://www.opensourcephysics.org/items/detail.cfm?ID=11247 (oproepen met: java -jar xxx.jar). Dit programma kan ook de speciale banen genereren bekend als de traan ("teardrop" in het Engels) of de hartvormige kromme.
| |||