Klassieke Mechanica/Elementaire dynamica: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Huibc (overleg | bijdragen)
Huibc (overleg | bijdragen)
Regel 475:
Bemerk dat het '''minteken''' alleen zinvol is in de '''vectoriële vorm''' voor de kracht van de veer. Het zegt dat de zin van de kracht altijd tegengesteld is aan de zin van de vervorming van de veer. Daar het hier om een ééndimensioneel probleem gaat, laat men dikwijls de vectorstreepjes weg. Men weet dan echter niet waarover men juist aan het praten is: alleen over de grootte of over grootte en zin van de kracht? Als men over de grootte van de kracht wil praten, dan moet men de norm nemen van beide leden van de vectoriële vorm en dan is het eerste wat verdwijnt het minteken voor het rechterlid van de vectoriële vorm hierboven.
 
===Voorbeelden===
 
====Voorbeeld 1: schaaltje aan veer====
[[afbeelding:veerschaaltje.png|right|schaaltje aan veer]]
De afbeelding stelt een schaaltje voor dat aan een veer hangt. De onbelaste lengte van de veer is 10 cm, de veerconstante 100 N/m en het schaaltje weegt 100 g. Wat is de nieuwe lengte van de veer met het schaaltje eraan en in rust?
Regel 491:
 
Oplossing: Wanneer men een massa van 200 g in het schaaltje legt, is de kracht van de veer niet meer voldoende om dit totale gewicht van 300 g op te houden. Het schaaltje zal naar beneden versnellen en met een zekere snelheid door de nieuwe evenwichtsstand passeren. Eens voorbij die stand wordt het afgeremd door de veer omdat de kracht van de veer dan groter is dan 3 N. Uiteindelijk zal het schaaltje stoppen, maar dan ogenblikkelijk terug naar boven versnellen. Het hele gebeuren wordt beheerst door de wet van behoud van energie.
Men past die toe door de totale energie te berekenen bij de begin- en bij de eindpositie. Om die posities te bepalen wordt een x-as naar beneden ingevoerd met nulpunt in de beginpositie van het schaaltje. <br />
Beginpositie: potentiële energie van de zwaartekracht = 0
:potentiële energie van de veer = k(l - l<sub>0</sub>)<sup>2</sup>/2 = 100(0,01)<sup>2</sup>/2 = 0,005 J
:E<sub>k</sub> = 0
Regel 502 ⟶ 503:
:0,005 = -3.x + 100(x+0,01)<sup>2</sup>/2
 
Dit is een kwadratische vergelijking in x. Er zijn dus 2 oplossingen: x = 0,04 m en x = 0 m. Als men het houdt bij de beschrijving zoals hierboven gegeven, dan blijft dit systeem ten eeuwigen dage tussen deze posities op en neer gaan. In werkelijkheid treedt er energieverlies op door de luchtweerstand en door inwendige verliezen in de veer, zodat de beweging na een tijdje stopt in een nieuwe evenwichtsstand. Deze stand ligt bij een lengte van de veer van 13 cm (cfr. eerste deel). De beide gevonden oplossingen liggen symmetrisch t.o.v. van deze stand want ze beantwoorden resp. aan een lengte van 15 cm en 11 cm.
 
Een variant op dit probleem bestaat erin dat de massa vanaf een zekere hoogte h boven het schaaltje erin valt en eraan blijft kleven. Dan bestaat het probleem uit 3 fazes: het vallen van de massa wordt beheerst door behoud van energie. De botsing met het schaaltje, waarbij men onderstelt dat er wel verandering van snelheid is maar niet van positie, door behoud van impuls. De beweging na de botsing wordt opnieuw beheerst door behoud van energie, maar er is nu wel een E<sub>k</sub> in de beginpositie.
 
===Voorbeeld 2: twee massa's verbonden door een staaf===
 
[[afbeelding:Energy-two-masses.pdf|right]]
 
Voor het volgende voorbeeld worden twee gelijke massa's A en B beschouwd, die kunnen bewegen in resp. een horizontale en een verticale geleiding en die verbonden zijn door een staaf met lengte L. Men beschouwt het gewicht van de staaf en de wrijving met de geleidingen als verwaarloosbaar. Men vraagt de snelheid van beide blokken uit te rekenen als ze uit rust vertrekken met de staaf horizontaal en passeren in de stand met de staaf onder een hoek van 45° met de horizontale.
 
Dit is een vraag naar de snelheid van één of meerdere massa's, wanneer het systeem vertrekt uit een bepaalde stand en passeert in een andere stand. Dit is een typische vraagstelling voor behoud van energie, voor zover alle verbindignen ideaal zijn en alle krachten die arbeid leveren aan of onttrekken uit het systeem, potentiaalkrachten zijn. Dit is hier het geval. Het is het gewicht van B dat de zaak in beweging brengt. De krachten van de geleidingen op de massa's staan altijd loodrecht op de geleidingen (als er geen wrijving is) en dus loodrecht op de verplaatsing. Alleen de krachten die de staaf op de massa's uitoefent zorgen voor een energie uitwisseling tussen A en B, maar de staaf zelf neemt geen energie op of levert er ook geen (als ze geen gewicht heeft en dus ook geen massa). De krachten op beide uiteinden van de staaf moeten in de richting van de staaf liggen, even groot zijn maar met tegengestelde zin. Deze staaf vormt immers een [[Klassieke_Mechanica/Statica#Ideale_staaf| ideale staaf]] zoals gedefinieerd in de statica. De verplaatsingen van beide uiteinden in de richting van de staaf moeten echter dezelfde zijn, want anders zou de lengte van de staaf veranderen. Wat aan energie onttrokken wordt aan B zal dus afgegeven worden aan A.
 
Voor het oplossen van het probleem hoeven we echter alleen te weten dat alle verbindingen als ideaal mogen beschouwd worden en dat de enige actieve kracht een potentiaalkracht is. Men schrijft weer de totale energie op in de begin- en eindsituatie en stelt die aan elkaar gelijk.
 
Beginsituatie:<br/>
:E<sub>p</sub> kan men 0 stellen. Dit betekent dat men de beginpositie van B als hoogte = 0 stelt.<br/>
:E<sub>k</sub> = 0
 
Eindsituatie:<br/>
:E<sub>p</sub> = -m<sub>B</sub>gLsin 45°<br/>
:E<sub>k</sub> = (m<sub>A</sub>v<sub>A</sub><sup>2</sup> + m<sub>B</sub>v<sub>B</sub><sup>2</sup>)/2
 
Men krijgt als vergelijking:<br/>
:0 = -m<sub>B</sub>gLsin 45° + (m<sub>A</sub>v<sub>A</sub><sup>2</sup> + m<sub>B</sub>v<sub>B</sub><sup>2</sup>)/2
 
Hierin komen echter 2 onbekenden voor. Er moet nu een verband gezocht worden tussen de beide snelheden. Als men de snelheid van B bekijkt vanuit een translerend assenkruis verbonden met A, dan is de sleepsnelheid van B gelijk aan de snelheid van A (horizontaal naar rechts). De relatieve snelheid ontstaat door de cirkelbeweging van B rond A als einde van de staaf en staat dus loodrecht op de staaf. De som van beide moet de absolute snelheid van B leveren, die verticaal naar beneden gericht is. Als de staaf onder een hoek van 45) staat, levert dat een gelijkbenig driehoek op en is v<sub>A</sub> = v<sub>B</sub> = v . Men krijgt dus als vergelijking:<br/>
:m<sub>B</sub>gLsin 45° = m v<sup>2</sup><br/>
of uiteindelijk:
:<math> v = \sqrt{g.L.\sin 45^o}</math> m/s
 
Behoudswetten vormen een soort "black box"-methode om problemen aan te pakken. Men moet zich niets aan trekken van de manier waarop de overgang van de beginsituatie naar de eindsituatie verloopt, men moet alleen weten dat die overgang aan bepaalde voorwaarden voldoet. Daar mee kan men een verband leggen tussen beide situaties met een minimale informatie.
 
Opmerking. Als men aan de staaf wel een massa toekent, dan verandert het probleem grondig. Met moet dan niet alleen rekening houden met een verschil in potentiële energie van de staaf, maar de staaf heeft dan ook een traagheidsmoment. Dit verplicht to het rekening houden met de rotatie van de staaf, zodat het probleem dan onder de theorie van het volgende hoofdstuk valt.
 
===Voorbeeld 3: ===
 
==Vermogen==
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.