Meten en onzekerheid/Onzekerheid: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
KKoolstra (overleg | bijdragen)
/* Formele definitie van het begrip kans Deze paragraaf is een bewerking van het lemma Axioma's van de kansrekening van nl.wikipedia. Versie: [http://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Axioma%27s_van_de_kansrekening&oldid=26265147]; auteurs: [http...
KKoolstra (overleg | bijdragen)
Regel 98:
====Kansruimte====
Bij kansrekening hebben we te maken met een willekeurige (niet-[[w:lege verzameling|lege]]) [[w:Verzameling (wiskunde)|verzameling]] Ω en een [[w:collectie (wiskunde)|collectie]] deelverzamelingen daarvan, <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>, de [[w:gebeurtenis (kansrekening)|gebeurtenissen]]. Op de collectie gebeurtenissen is een kans ''P'' (van 'Probabilitas') gedefinieerd. De verzameling Ω kan worden gezien als de verzameling van de mogelijke uitkomsten van een kansexperiment; daarom wordt Ω de 'uitkomstenruimte' genoemd en de elementen van Ω uitkomsten.
 
Er is echter wel een technische beperking die voor niet-wiskundigen lastig te begrijpen is, maar wel van belang is om paradoxale uitkomsten te voorkomen in situaties waarbij de uitkomstenruimte uit een 'oneindig' aantal elementen bestaat. In dit geval kan niet iedere deelverzameling van Ω als gebeurtenis optreden; de deelverzamelingen die wel als gebeurtenis kunnen optreden vormen een speciale collectie <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>. Om te garanderen dat allerlei met een of meer gebeurtenissen samenhangende deelverzamelingen van Ω ook tot de gebeurtenissen behoren, wordt gëeist dat <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math> een [[Sigma-algebra|σ-algebra]] is.
 
Over het algemeen kan niet iedere deelverzameling van Ω als gebeurtenis optreden; de deelverzamelingen die wel als gebeurtenis kunnen optreden vormen een speciale collectie <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>. De kans ''P'' moet voldoen aan de volgende voorwaarden, de zgn. axioma's van Kolmogorov:
Regel 138 ⟶ 140:
Eerder in dit hoofdstuk hebben we op basis van wat gevoelsmatig logisch is (plus bepaalde vrij arbitraire afspraken, zoals dat we de maximale kans normeren op 1), een aantal eigenschappen genoemd die wenselijk zijn voor een kansmaat. We vertalen deze naar de volgende desiderata (wenselijke eigenschappen) ten aanzien van een kansmaat:
 
(1) Een zekereonmogelijke gebeurtenis Ω (deeen vereniginggebeurtenis die geen deel uitmaakt van allede set van mogelijke gebeurtenissen) heeft kans 10.
(2) Een onmogelijkezekere gebeurtenis <math>\empty</math>Ω (een gebeurtenis die niet hoort tot de setvereniging van alle mogelijke gebeurtenissen) heeft kans 01.
(3) Een gebeurtenis A die even waarschijnlijk is als zijn complement (de gebeurtenis niet-A), heeft als kans <math>\tdivtfrac {1}{2}</math>
(4) Als alle uitkomsten even waarschijnlijk (of, zo je wilt, onwaarschijnlijk) zijn, dan hebben ze dezelfde kans.
 
Al deze eigenschappen kunnen direct uit de axioma's van Kolmogorov worden afgeleid. Zo garandeert de combinatie van het tweede en derde axioma de eigenschap dat als gebeurtenis A even waarschijnlijk is als gebeurtenis niet-A, deze allebei kans <math>\tfrac {1}{2}</math> moeten hebben. Immers:
* A en niet-A zijn twee disjuncte gebeurtenissen, die samen
* A en niet-A zijn disjuncte gebeurtenissen, dus
 
==Het bepalen van kanswaarden==
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.