Wikibooks

Meten en onzekerheid/Onzekerheid: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Vorige wijzigingVolgende wijziging →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
KKoolstra (overleg | bijdragen)
2.549 bewerkingen
KKoolstra (overleg | bijdragen)
2.549 bewerkingen
Regel 99:
Bij kansrekening hebben we te maken met een willekeurige (niet-[[w:lege verzameling|lege]]) [[w:Verzameling (wiskunde)|verzameling]] Ω en een [[w:collectie (wiskunde)|collectie]] deelverzamelingen daarvan, <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>, de [[w:gebeurtenis (kansrekening)|gebeurtenissen]]. Op de collectie gebeurtenissen is een kans ''P'' (van 'Probabilitas') gedefinieerd. De verzameling Ω kan worden gezien als de verzameling van de mogelijke uitkomsten van een kansexperiment; daarom wordt Ω de 'uitkomstenruimte' genoemd en de elementen van Ω uitkomsten.
 
Er is echter wel een technische beperking die voor niet-wiskundigen lastig uit te begrijpenleggen is, maar wel van belang is om paradoxale uitkomsten te voorkomen in situaties waarbij de uitkomstenruimte uit een 'oneindig' aantal elementen bestaat. In dit geval kan nietNiet iedere deelverzameling van Ω kan als gebeurtenis optreden; de deelverzamelingen die wel als gebeurtenis kunnen optreden vormen een speciale collectie <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>. Om te garanderen dat allerlei met een of meer gebeurtenissen samenhangende deelverzamelingen van Ω ook tot de gebeurtenissen behoren, wordt gëeist dat <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math> een [[w:Sigma-algebra|σ-algebra]] is.
Een dergelijk drietal <math>\scriptstyle (\Omega,\mathcal{F},P)</math> heet ''kansruimte'' en is een bijzonder geval van wat in de wiskunde, specifiek de maattheorie, een [[w:maatruimte|maatruimte]] wordt genoemd.▼
 
Over het algemeen kan niet iedere deelverzameling van Ω als gebeurtenis optreden; de deelverzamelingen die wel als gebeurtenis kunnen optreden vormen een speciale collectie <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>. De kans ''P'' moet voldoen aan de volgende voorwaarden, de zgn. axioma's van Kolmogorov:
# VoorDe iederekans gebeurtenisvan ''A''een geldt:gebeurtenis ''P''(''A'') ≥ 0 (een kansE is niet -negatief).:
:<math>P(E)\in\mathbb{R}\and P(E)\geq 0 \qquad \forall E\in F</math>
# ''P''(Ω) = 1 (de totale kans is genormeerd op een).
Voor iedere gebeurtenis ''A'' geldt: ''P''(''A'') ≥ 0 (een kans is niet negatief).
# Voor een [[w:rij (wiskunde)|rij]] [[w:disjuncte verzamelingen|disjuncte]] gebeurtenissen (''A<sub>k</sub>''), dus met <math>A_i \cap A_j = \empty</math> voor ongelijke ''i'' en ''j'', geldt: ▼
# De kans op een zekere gebeurtenis (de vereniging van alle mogelijke gebeurtenissen is genormeerd op 1:
:: <math> P(\bigcup A_kOmega) = \sum P(A_k)1</math>.
:(In woorden:# voorVoor gebeurtenissen die niet tegelijkertijd kunnen optreden, kun je de kans dat een van deze gebeurtenissen optreedt, berekenen als de som van de kansen op de afzonderlijke gebeurtenissen.):
 
:<math>P(E_1 \cup E_2 \cup \cdots) = \sum_{i=1}^\infty P(E_i).</math>
▲Een dergelijk drietal <math>\scriptstyle (\Omega,\mathcal{F},P)</math> heet ''kansruimte'' en is een bijzonder geval van wat in de wiskunde, specifiek de maattheorie, een [[w:maatruimte|maatruimte]] wordt genoemd.
▲#voor Vooriedere een[[aftelbaar|aftelbare]] [[w:rij (wiskunde)|rij]] [[w:disjuncte verzamelingen|disjuncte]] gebeurtenissen (''A<submath>k</sub>'')E_1, dus metE_2, <math>A_i \cap A_j = \empty...</math> voor ongelijke ''i'' en ''j'', geldt: .
 
====Voorbeeld====
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.