Tracéplanning/Tracéspecificatie: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
KKoolstra (overleg | bijdragen)
KKoolstra (overleg | bijdragen)
Regel 35:
*overgangsboog.
 
In deze paragraaf gaan we vooral in op de berekening van de ''lengte'' van deze elementen, gegeven enkele randvoorwaarden.
===Lengte van een lijnsegment===
 
===Rechte lijn===
De rechte lijn is in de [[w:Euclidische meetkunde|Euclidische meetkunde]]) de kortste verbindingsweg tussen twee punten. De lengte van een lijn ''d'' is volgens de stelling van [[w:Pythagoras|Pythagoras]] gelijk aan de wortel uit de som van de kwadraten van de verschillen tussen de coördinaten van de eindpunten <math>p_1=(x_1,y_1)</math> en <math>p_2= (x_2,y_2)</math>:
 
:<math>d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}</math>
 
===Cirkelboog===
===Lengte van een cirkelboogsegment===
{{Afbeelding vast
|afbeelding=Oppervlakte Cirkelsegment 1.png
Regel 47 ⟶ 49:
}}
 
Naast rechte lijnen worden cirkelboogsegmenten gebruikt in het horizontaal alignement om vloeiende richtingsveranderingen mogelijk te maken.
Gegeven de tangenthoek en de boogstraal is het eenvoudig mogelijk om de lengte van een cirkelsegment te berekenen:
 
De lengte van een cirkelsegment kan het eenvoudigst worden berekend gegeven de tangenthoek en de boogstraal:
:<math>L = \frac{\alpha}{2\pi}*R</math>
 
Daarbij is de hoek <math>\alpha</math> in radialen.
 
We kunnen echter ook gegeven de tangentpunten en -hoeken de boogstraal herleiden. Allereerst bepalen we de koorde ''k'' uit de rechtlijnige afstand tussen de tangentpunten. Er geldt nu dat:
:<math>\frac{\tfrac12 k}{R} = \sin \alpha</math>
 
Hieruit volgt dus dat:
:<math>R = \frac{k}{2 \sin \alpha}</math>
 
===Overgangsboog <ref>Deze paragraaf is een bewerking van de lemmata [[w:overgangsboog|]] en [[w:clothoïde|]] van nl.wikipedia. Versie: zie [http://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Overgangsboog&oldid=24380786] en [http://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Clotho%C3%AFde&oldid=27241478]; auteurs: zie [http://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Overgangsboog&action=history] en [http://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Clotho%C3%AFde&action=history].</ref>===
Een overgangsboog is de geleidelijke overgang tussen een rechtstand en een [[boog (meetkunde)|cirkelboog]] of tussen twee bogen met een verschillende [[straal (wiskunde)|straal]] R in het (horizontaal) [[alignement]] van een weg of spoorweg. Door de [[Kromming (meetkunde)|kromming]] van de weg of spoorweg geleidelijk toe- of af te laten nemen, wordt een plotselinge toe- of afname van de zijdelingse versnelling vermeden. Een nevenfunctie van de overgangsboog is om de [[verkanting]] van de weg geleidelijk te kunnen aanpassen, waarbij de gewenste verkanting weer afhankelijk is van de boogstraal (en de [[ontwerpsnelheid]]).
 
Zowel voor wegen als spoorwegen geldt over het algemeen dat een overgangsboog enkel hoeft te worden toegepast tussen een rechtstand en een (ruime) boog, indien ook de verkanting verandert. Hoe ruim de betreffende boog moet zijn hangt samen met de ontwerpsnelheid. Zo hoeft volgens het Nederlandse Handboek Wegontwerp een boog met een straal vanaf 2000 meter in een [[stroomweg]] niet te worden ingeleid met een overgangsboog, terwijl bij een ontwerpsnelheid van 50 km/uur een boog met een straal vanaf 300 meter reeds geen overgangsboog meer behoeft <REF>CROW (2002), Handboek Wegontwerp</REF>.
 
Een overgangsboog kan in principe ook worden toegepast als overgang in het verticaal alignement, bijvoorbeeld tussen een helling en een [[topboog]]. Toepassing van overgangsbogen in het verticaal alignement is echter (althans in Europa) niet gebruikelijk.
 
Als overgangsboog (in het horizontaal alignement) wordt in [[Europa (werelddeel)|Europa]] meestal de [[clothoïde]]-vorm gebruikt voor zowel wegen als spoorwegen. Het gebruik van de [[kubische parabool]] als benadering van de clothoïde-vorm is inmiddels in onbruik geraakt. In Aziatische landen gebruikt men eerder de [[Lemniscaat van Bernoulli]]. De [[NMBS|Belgische spoorwegen]] gebruiken parabolische overgangsbogen (POB).
 
Een '''clothoïde''' (Grieks: κλοθειν (klothein), spinnen (wol)), ook '''spiraal van Cornu''' genaamd, is een term uit de [[civiele techniek]], waarmee een [[kromme (wiskunde)|kromme]] aangeduid wordt die gebruikt wordt bij het ontwerp van het [[alignement]] en daarin als overgang dient tussen twee rechte stukken (spoor)[[weg]], of tussen een recht stuk weg en een cirkelvormige bocht.
 
Een clothoïde is een symmetrische dubbelspiraal met het [[buigpunt]] in de [[oorsprong (wiskunde)|oorsprong]], met de eigenschap dat met toenemende [[booglengte]] ook de [[Kromming (meetkunde)|kromming]] toeneemt en wel geldt in elk punt van de kromme:
 
:<math> R\,L = A^2 = C^{te}</math>.
 
[[Bestand:Clothoide.svg|thumb|right|220px|Clothoïde met overgangsboog]]
waarin:
*A = de parameter van de clothoïde in [m],
*R = de [[boogstraal]] in [m],
*L = de [[booglengte]] [m] van de [[overgangsboog]] (gemeten vanaf de rechtstand)
 
De algemene formule voor een clothoïde in geparametriseerde vorm, is:
 
:<math>x(t)=k\int_0^t \sin(u^2)du</math>
:<math>y(t)=k\int_0^t \cos(u^2)du</math>,
 
met
 
:<math>k =A\, \sqrt{2}</math>.
 
Voor de booglengte ''L'' geldt:
 
:<math>L=k\,t</math>.
 
Alle clothoïden zijn dus door de schaalparameter ''k'' met elkaar verbonden.
 
==Toepassing==
De clothoïde wordt onder ander toegepast als [[overgangsboog]] in het [[horizontaal alignement]] van [[weg]]en en [[spoorweg]]en. Toepassing van de clothoïde als overgangsboog heeft een aantal kenmerken die over het algemeen als gunstig worden gezien door verkeersingenieurs:
* Bij constante snelheid is de toename van de [[kromming (meetkunde)|kromming]] per tijdseenheid gelijk. Met andere woorden, de [[hoeksnelheid]] van de wagen neemt [[lineair]] toe of af, of nog met andere woorden de [[hoekversnelling]] is constant. Dit betekent dat bij het doorlopen van de overgangsboog een automobilist met constante snelheid het stuur kan verdraaien.
* De toename van de dwarsversnelling per afgelegde afstand is gelijk, waardoor de toename van de dwarsversnelling per tijdseenheid gelijk is bij constante snelheid.
* De ideale [[verkanting]] neemt lineair toe als functie van de afgelegde afstand.
 
Indien geen overgangsboog zou worden toegepast, zou bij een overgang van een rechtstand of ruime [[cirkelboog|boog]] naar een krappe boog de dwarsversnelling ineens toenemen, zou in het geval van wegverkeer een automobilist ineens een grote stuurverdraaiing moeten maken en zou al in de rechtstand of ruime boog de verkantingsovergang moeten worden aangebracht, wat ongunstig zou zijn uit comfortredenen.
 
==Uitwerking van het verticaal alignement==
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.