Abstracte algebra/Isomorfismestelling voor groepen: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Aventicum (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
Nijdam (overleg | bijdragen)
Regel 1:
==De eerste isomorfismestelling voor groepen==
{{Wis stelling|
AlsLaat <math>(G,\star)</math> en <math>(H,\cdot)</math> twee groepen zijn, waartussen een groepsmorfisme <math>f:(G_1G,\star)\to (G_2H,\trianglecdot)</math> een groepsmorfismebestaat is, dan is
 
:<math>\left(\frac{G_1}{ G / \mathrm{Ker}(f)},\star\right)\cong\left(\mathrm{Im}f(fG),\trianglecdot\right)</math>
}}
 
{{Wis bewijs|
Definieer het isomorfisme
:<math>\begin{align}
\overline{f}& :\left(\frac{G_1}{G/\mathrm{Ker}(f)},\star\right)\to\left(Im(f(G),\trianglecdot\right):g\star \mathrm{Ker}(f)\mapsto f(g)
&:g\star \mathrm{Ker}(f)\mapsto f(g)
\end{align}
</math>
 
''';Is dit goed gedefinieerd?'''
neemNeem twee verschillende representanten (<math>g_1</math> en <math>g_2</math>) van dezelfde nevenklasse. Dan bestaat er een <math>k\in\mathrm{Ker}(f):g_1=g_2\star k</math>. Dus dan wordt
:<math>\overline{f}(g_1\star \mathrm{Ker}(f)) = f(g_1) = f(g_2\star k) = f(g_2)\trianglecdot f(k) = f(g_2) = \overline{f}(g_2\star \mathrm{Ker}(f))</math>. Dus is het beeld onafhankelijk van de representant.
 
Dus is het beeld onafhankelijk van de representant.
'''Is <math>\overline{f}</math> een groepsmorfisme?'''
 
:<math>\overline{f}\left((g_1\star\mathrm{Ker}(f))\star (g_2\star\mathrm{Ker}(f))\right)=\overline{f}\left((g_1\star g_2)\star\mathrm{Ker}(f)\right) = f(g_1\star g_2)=f(g_1)\triangle f(g_2) = \overline{f}\left(g_1\star\mathrm{Ker}(f)\right)\triangle \overline{f}\left(g_2\star\mathrm{Ker}(f)\right)</math>
''';Is <math>\overline{f}</math> een groepsmorfisme?'''
:<math>\overline{f}\left((g_1\star\mathrm{Ker}(f))\star (g_2\star\mathrm{Ker}(f))\right)=\overline{f}\left((g_1\star g_2)\star\mathrm{Ker}(f)\right) = f(g_1\star g_2)=f(g_1)\trianglecdot f(g_2) = \overline{f}\left(g_1\star\mathrm{Ker}(f)\right)\trianglecdot \overline{f}\left(g_2\star\mathrm{Ker}(f)\right)</math>
Dus is <math>\overline{f}</math> een groepsmorfisme
 
''';Is <math>\overline{f}</math> bijectief?'''
Neem<math>\overline{f}</math> eenis injectief, want neem <math>g_1,g_2\in G_1:G</math> met <math>f(g_1)=f(g_2)</math>, dan geldt dat <math>g_1=g_2\star k</math> voor een zekere <math>k\in\mathrm{Ker}(f)</math> en dus is <math>g_1\star\mathrm{Ker}(f)=g_2\star\mathrm{Ker}(f)</math>. De afbeelding is dus injectief.
 
<math>\overline{f}</math> is surjectief, want zij <math>h\in f(G)</math>, dan is er een <math>g\in G:f(g)=h</math>, en dus geldt:<math>\overline{f}(g\star \mathrm{Ker}(f)) =h</math>.
: ''Is <math>\overline{f}</math> injectief?''
}}
Neem een <math>g_1,g_2\in G_1:f(g_1)=f(g_2)</math>, dan geldt dat <math>g_1=g_2\star k</math> voor een zekere <math>k\in\mathrm{Ker}(f)</math> en dus is <math>g_1\star\mathrm{Ker}(f)=g_2\star\mathrm{Ker}(f)</math>. De afbeelding is dus injectief.
 
: ''Is <math>\overline{f}</math> surjectief? ''
Aangezien je met alle elementen uit <math>G_1</math> het volledige beeld kan vormen en alle elementen uit een zelfde nevenklasse een zelfde beeld hebben kan je dus ook met alle nevenklassen de volledige beeld verzameling vormen.}}
 
==Geavanceerd voorbeeld==
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.