Abstracte algebra/Isomorfismestelling voor groepen: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
|||
Regel 1:
==De eerste isomorfismestelling voor groepen==
{{Wis stelling|
:<math>\left(
}}
{{Wis bewijs|
Definieer het isomorfisme
:<math>
\overline{f}
</math>
:<math>\overline{f}(g_1\star \mathrm{Ker}(f)) = f(g_1) = f(g_2\star k) = f(g_2)\ Dus is het beeld onafhankelijk van de representant.
'''Is <math>\overline{f}</math> een groepsmorfisme?'''▼
:<math>\overline{f}\left((g_1\star\mathrm{Ker}(f))\star (g_2\star\mathrm{Ker}(f))\right)=\overline{f}\left((g_1\star g_2)\star\mathrm{Ker}(f)\right) = f(g_1\star g_2)=f(g_1)\triangle f(g_2) = \overline{f}\left(g_1\star\mathrm{Ker}(f)\right)\triangle \overline{f}\left(g_2\star\mathrm{Ker}(f)\right)</math>▼
▲:<math>\overline{f}\left((g_1\star\mathrm{Ker}(f))\star (g_2\star\mathrm{Ker}(f))\right)=\overline{f}\left((g_1\star g_2)\star\mathrm{Ker}(f)\right) = f(g_1\star g_2)=f(g_1)\
Dus is <math>\overline{f}</math> een groepsmorfisme
<math>\overline{f}</math> is surjectief, want zij <math>h\in f(G)</math>, dan is er een <math>g\in G:f(g)=h</math>, en dus geldt:<math>\overline{f}(g\star \mathrm{Ker}(f)) =h</math>.
}}
▲Neem een <math>g_1,g_2\in G_1:f(g_1)=f(g_2)</math>, dan geldt dat <math>g_1=g_2\star k</math> voor een zekere <math>k\in\mathrm{Ker}(f)</math> en dus is <math>g_1\star\mathrm{Ker}(f)=g_2\star\mathrm{Ker}(f)</math>. De afbeelding is dus injectief.
==Geavanceerd voorbeeld==
|