Klassieke Mechanica/Statica: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
komma's, typo's + aanpassingen |
|||
Regel 3:
=Inleiding=
De '''statica''' is de studie van de voorwaarden die nodig zijn opdat een voorwerp of een structuur in rust zou blijven. Voor een onvervormbaar voorwerp is vereist dat de versnelling en de hoekversnelling van het voorwerp beide nul zijn. Het is in feite een speciaal geval van de [[Klassieke_Mechanica/Elementaire_dynamica#Wetten_van_Newton|wet van Newton]] en de [[Klassieke_Mechanica/Voorwerpendynamica#Basiswet|rotatiewet]]
* <math>\sum_i \vec{F_i}\,=\,0 </math>
* <math> \sum_i \vec{r}_{Pi}\times\vec{F_i}\,=\,0 </math>
met <math>\vec{F_i} </math> de op het voorwerp of de structuur werkende krachten, P een willekeurig stilstaand punt (zie infra) en <math>\vec{r}_{Pi}</math> de positievector van P naar het aangrijpingspunt van de kracht <math>\vec{F_i} </math>.<!-- de arm van een moment is iets totaal anders dan de positievector van het aangrijpingspunt -->
Dit is de '''vectoriële benadering'''. Voor een driedimensionaal systeem komen beide vectoriële vergelijkingen overeen met drie scalaire vergelijkingen. Bij een tweedimensionaal systeem leidt de eerste voorwaarde tot twee scalaire vergelijkingen. De momenten liggen dan
Regel 18:
==De evenwichtsvoorwaarde==
De beweging van een onvervormbaar voorwerp kan altijd beschreven worden als een beweging van het massacentrum en een beweging t.o.v. het massacentrum. Voor een onvervormbaar voorwerp kan deze laatste beweging alleen maar een rotatie zijn. Een onvervormbaar voorwerp zal in rust zijn als het massacentrum niet beweegt en er geen rotatie is rond het massacentrum. Als er geen krachten werken op een voorwerp,
* <math>\sum_i \vec{F_i}\,=\,0 </math> nodig is opdat het massacentrum geen versnelling zou krijgen en het voorwerp dus in rust zou blijven;
* <math> \sum_i \vec{r}_{Ci}\times\vec{F_i}\,=\,0 </math> nodig is opdat het voorwerp geen hoekversnelling rond een as door het massacentrum zou krijgen en dus niet in rotatie zou komen. Hierbij is <math>\vec{r}_{Ci}</math> de positievector van het aangrijpingspunt van de i-de kracht t.o.v. het massacentrum.
Regel 24:
Wanneer het voorwerp in rust is, dan is het massacentrum een stilstaand punt. Als men het moment van de krachten uitrekent t.o.v. een ander stilstaand punt P, dan bestaat er een verband tussen beide momenten dat gegeven wordt door de [[Klassieke_Mechanica/Equivalenties#De_verplaatsingsformule|verplaatsingsformule]]:<br />
<math>\vec{\mu_P} = \vec{\mu_C} + \vec{PC}\times\sum_i{\vec{F_i}}</math><br />
Bij rust eist men echter dat de som van de krachten
<math>\quad \sum_i \vec{F_i}\,=\,0 </math><br />
Regel 32:
Het kan goed zijn om eens de tekst te herlezen over het vectorieel product en over de manieren om een moment uit te rekenen in het eerste hoofdstuk, in de topic [[Klassieke_Mechanica/Basisbegrippen#Elementaire_bewerkingen_met_vectoren|Elementaire bewerkingen met vectoren]].
In de praktijk moet men deze vergelijkingen projecteren op assen, vooraleer men getallen kan invullen. Voor een driedimensioneel probleem levert elke voorwaarde
- som van de krachten = 0 levert:
* <math>\sum{X_i} = 0 </math><br />
Regel 48:
Voor een '''
* <math>\sum{X_i} = 0 </math>
* <math>\sum{Y_i} = 0 </math>
Regel 56:
===Voorbeeld===
[[afbeelding:statica-balk1.png|right|schuin opgehangen balk]]
Een balk met gewicht G en lengte l is m.b.v. een scharnier en een kabel opgehangen onder een hoek van 30° met de horizontale. De kabel is onder een hoek van 60° met de
Om dit probleem op te lossen moet men '''de balk''' bekijken en '''alle krachten die op de balk werken'''. Normaal raadt men aan om de balk afzonderlijk te tekenen, los van zijn omgeving. De situatie hier is echter nog eenvoudig genoeg om het bij één figuur te laten.
Regel 66:
:<math>Y_A + S.\sin 30^o - G = 0 </math> <br/>
De momentenvergelijking wordt opgeschreven t.o.v. het punt A, omdat dan de onbekende krachten in A niet voorkomen in die vergelijking. Men kan zo een vergelijking in één onbekende, nl. S, opstellen, die onmiddellijk kan opgelost worden:<br/>
:<math>S.l.\cos 30^o - G.\frac{l}{2}.\cos 30^o = 0</math>
Regel 75:
[[afbeelding:statica-balk2.png|right|3 samenlopende krachten]]
Wanneer er slechts '''3 krachten''' in het spel zijn,
:<math>\arctan \frac{X_A}{Y_A}= \arctan\frac{\sqrt{3}G/4}{3G/4}= \arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=30^o</math>
De enige mogelijkheid
=Vrijheidsgraden en verbindingen=
Regel 84:
Een voorwerp waarvan de beweging aan geen enkele beperking onderworpen is, kan een willekeurige translatie en rotatie uitvoeren. Beide kunnen voorgesteld worden door een vector, die in onze reële wereld kan beschreven worden m.b.v. 3 basisvectoren. Men zegt daarom dat een vrij bewegend woorwerp 3 '''vrijheidsgraden van translatie''' heeft en 3 '''vrijheidsgraden van rotatie'''.
Meestal is elk voorwerp wel ergens in contact met een ander voorwerp. Dat contact belet dan sommige bewegingen, schakelt sommige vrijheidsgraden uit. Wanneer een voorwerp b.v. op het horizontale oppervlak van een tafel moet blijven, dan heeft het nog 2 vrijheidsgraden van translatie. De vrijheid om in vertikale richting te bewegen is weggenomen. Het uitschakelen van die vrijheidsgraad vraagt een kracht vanwege de tafel op het voorwerp. Men noemt dit een '''verbindingskracht'''. Meestal worden deze verbindingskrachten ook gezien als '''reacties''' die optreden,
Opdat men geen overbodige onbekenden zou invoeren, is het belangrijk dat men goed weet welke verbindings- of reactiekrachten er horen bij elk type verbinding.
Regel 92:
- '''vrij contact''': een punt van het voorwerp wordt verplicht langs een vlak of lijn of in een gleuf te bewegen. De beweging loodrecht op dat vlak of lijn of gleuf is verboden. De verbindingskracht zal loodrecht op dat vlak of lijn of gleuf staan. De richting is dus bekend, alleen de grootte niet. Dit vormt dus 1 onbekende. (Voor de mof: zie verder bij inklemming)
Wanneer een voorwerp op een vlak rust, maar er eraf kan genomen worden,
Ook de roloplegging, zoals gebruikelijk in steunpunten van bruggen, is een vorm van vrij contact.
- '''scharnier'''. Men moet hier zien wat er door de constructie van het scharnier belet en wat toegelaten wordt. Een klassieke scharnier, zoals bij een deur
* Voor een driedimensionaal probleem zal men 3 verbindingskrachten moeten invoeren en in principe ook 2 momenten. Wanneer een voorwerp met meerdere scharnieren bevestigd is,
* Voor een tweedimensionaal probleem zal men alleen een verbindingskracht met 2 componenten
[[afbeelding:inklemming.png|right|inklemming]]
- '''inklemming''': een inklemming belet een translatie en rotatie van het verbindingspunt.
Een staaf die door een '''mof''' glijdt, is een combinatie van een vrij contact met anderzijds het element van contact over een zeker oppervlak zoals bij de inklemming. Er zal dus een reactiekracht loodrecht op de mof en een moment moeten ingevoerd worden.
- '''touw''': een touw kan alleen trekken in de richting van het touw (met uitzondering van sommige fakirstouwen). Men moet dus één onbekende kracht in de richting van het touw invoeren.
==Ideale staaf==
Wanneer men een staaf heeft die in '''slechts 2 punten''' verbonden is
▲Wanneer men een staaf heeft die in '''slechts 2 punten''' verbonden is met een voorwerp en waarvan het '''eigen gewicht verwaarloosbaar''' is t.o.v. de krachten die optreden in die verbindingen, dan kan men door toepassen van de evenwichtsvergelijkingen gemakkelijk aantonen dat de verbindingskrachten in die contactpunten even groot maar tegengesteld moeten zijn (uit de eis som = 0) en dat ze in elkaars verlengde moeten liggen (om te voldoen aan som der momenten = 0). Ze schijnen als het ware een actie-reactiekoppel te vormen. Men zal normaal geen vergelijkingen opschrijven voor zo'n staaf, maar de kracht in die staaf berekenen uit het evenwicht van de voorwerpen waarmee ze in contact is. Bemerk echter wel dat het moet gaan om puntvormige contacten, d.i. vrij contact of scharnier, met de andere voorwerpen, niet om een inklemming. Voorbeelden van ideale staven vindt men in de voorbeelden van verschillende systemen hieronder.
==Strikte evenwichtsvoorwaarden==
Soms worden door de verbindingskrachten niet alle vrijheidsgraden uitgeschakeld. Denk bv. aan een deur die open staat. De scharnieren houden de deur op haar plaats, maar beletten geen rotatie rond de as van de scharnieren. Opdat de deur onbeweeglijk zou blijven, moet de som van de momenten van de uitwendige krachten t.o.v. die as 0 zijn. In de vergelijking die dat uitdrukt, zullen geen verbindingskrachten voorkomen maar alleen actieve krachten. Dit soort vergelijkingen, waarin '''alleen eisen gesteld worden aan de actieve krachten''', noemt men ook wel de '''strikte of eigenlijke evenwichtsvoorwaarden'''.
=Isostatisch, hyperstatisch en hypostatisch systeem=
Als het aantal onbekenden (= componenten van onbekende verbindingskrachten of momenten) dat optreedt in een probleem, precies overeenkomt met het aantal vergelijkingen dat men kan opschrijven,
Wanneer een systeem minder onbekenden heeft dan vergelijkingen dan is het een '''onmogelijk of hypostatisch systeem'''. In de praktijk zijn vele van die systemen perfect in evenwicht, nl. voorwerpen die alleen onder invloed zijn van het gewicht en die door vertikale reacties in evenwicht gehouden worden (voorbeeld 2 hieronder). Zolang er geen zijdelingse krachten op die voorwerpen werken, is er ook geen zijdelingse reactie nodig. De projectie van alle krachten op een horizontale bevat gewoon niets en is dus een schijnbaar overbodige vergelijking.
Wanneer er meer onbekenden zijn dan vergelijkingen dan heeft men een '''onbepaald of hyperstatisch systeem'''. In feite is elke tafel of elke stoel met vier poten zo'n hyperstatisch systeem. Alleen een driepikkel is een isostatisch systeem. Men kan in zo'n geval, met de basisvergelijkingen van de statica, niet correct uitreken hoe de nodige reactiekracht zich zal verdelen over de aanwezige verbindingen. Er zit een onbepaaldheid in de verdeling van de krachten over de verbindingen. Men kan dikwijls een beroep doen op de elasticiteit van de contactpunten of van het systeem zelf om toch tot een verdeling van de krachten te komen. De elasticiteit van de ophanging van een auto zorgt er
==Voorbeelden==
[[afbeelding:statica-platen1.png|center|Voorbeelden]]
Voorbeeld 1: in theorie isostatisch, maar toch onmogelijk evenwicht. Als men het moment berekent t.o.v. het punt A, dan blijken alle verbindingskrachten door dit punt te gaan en dus geen moment te hebben t.o.v. dit punt. Het gewicht heeft echter wel een moment. Er is dus niet voldaan aan de momentenvergelijking en het voorwerp zal beginnen te draaien rond A. Zodra de staafverbinding schuin ligt, is er wel evenwicht mogelijk. Dan kunnen immers alle krachten door 1 punt gaan (voorbeeld 1b). Bemerk dat voor de schuine stand
[[afbeelding:statica-plaat-gedraaid.png|center|Isostatisch systeem]]
Voorbeeld 2: een onmogelijk systeem want slechts 2 reactiekrachten, in feite perfect in evenwicht. Als er geen horizontale actiekracht is, is er ook geen horizontale reactie nodig.
Voorbeeld 3: een hyperstatisch systeem. In
=Evenwicht van samengestelde voorwerpen=
Regel 137 ⟶ 136:
Samengestelde voorwerpen bestaan in drie categorieën:
* De samenstellende delen zijn onvervormbaar en ook het geheel is onvervormbaar.
* De samenstellende delen zijn onvervormbaar, maar het geheel is vervormbaar.
* Continu vervormbare systemen, zoals kettingen en kabels.
Het basisprincipe is dat voor evenwicht van het geheel '''elk onderdeel afzonderlijk in evenwicht moet zijn'''. Men moet dus de evenwichtsvoorwaarden, zoals die hoger gezien werden voor een onvervormbaar voorwerp, op elk van de onderdelen toepassen. Daarvoor zal men het voorwerp uit elkaar moeten halen, zodat duidelijk is over welk onderdeel men spreekt en wat de interacties zijn tussen die onderdelen.
[[afbeelding:sharnierkrachten.png|right|krachten in een scharnier]]
Belangrijk is dat men bij het aanduiden van de krachten tussen de onderdelen erop let dat '''de actie-reactiewet gerespecteerd wordt'''. Als balk A een kracht uitoefent op balk B, dan zal balk B een gelijke maar tegengesteld gerichte kracht uitoefenen op balk A.
Bemerk dat in de vectoriële notatie het plus- of minteken
==Samengesteld systeem, geheel onvervormbaar==
[[afbeelding:manOpLadder1.png|247x298px|right|man op ladder]]
Als voorbeeld wordt een trapladder beschouwd (zie figuur). Als er tussen de onderste treden een staaf bevestigd is, dan is het geheel onvervormbaar. Deze ladder zou men ook op glad ijs kunnen plaatsen zonder risico dat men tegen het ijs slaat. Bij het uit elkaar halen werd voor de belasting door de man beroep gedaan op de stelling dat men een kracht mag verschuiven over zijn
[[afbeelding:manOpLadder1B.png|right|man op ladder: onderdelen]]
Er worden geen vergelijkingen opgeschreven voor de ideale staaf tussen de treden. Men weet immers vooraf waartoe die zouden leiden (zie hierboven). Er worden tegengestelde krachten opgeschreven werkend op de linker- en rechterhelft van de ladder. In feite zijn die tegengestelde krachten het resultaat van driemaal even groot en tegengesteld:
Regel 157 ⟶ 156:
Voor
===De vergelijkingen===
Regel 181 ⟶ 180:
Dit vorm ook een stelsel van 3 verglijkingen in 4 onbekenden, ook niet afzonderlijk oplosbaar.
Alle vergelijkingen samen vormen echter een stelsel van 6 vergelijkingen in 5 onbekenden: Y<sub>A</sub>, X<sub>AB</sub>, X<sub>C</sub> ,Y<sub>C</sub>, Y<sub>B</sub>. De ontbrekende onbekende is een zijdelingse reactie in
Regel 195 ⟶ 194:
Men kan de vergelijkingen voor het
:<math>\sum M_i = X_{AB}.d_{st}.\sin \alpha - G_R.(3l/2).\cos \alpha - X_C.l.\sin \alpha - Y_C.l.\cos \alpha + Y_B.2l.\cos \alpha = 0 </math>
Als men dit optelt bij de momentenvergelijking voor het linkse deel, krijgt men ook de vorige momentenvergelijking.
'''Numeriek voorbeeld'''<br />
Regel 219 ⟶ 218:
[[afbeelding:manOpLadder2.png|230x270px|right|man op ladder]]
Neemt men bij vorig voorbeeld de staaf tussen de treden weg, dan bekomt men een systeem dat op zijn geheel vervormbaar is. Er zijn nu in de steunpunten zijdelingse reacties nodig om te beletten dat die zouden wegschuiven. Het grote verschil is nu dat men bij het toepassen van de evenwichtsvoorwaarden voor het geheel, niet meer een stelsel heeft dat op zichzelf oplosbaar is. In dit geval zit men met 3 vergelijkingen in 4 onbekenden: X<sub>A</sub>, Y<sub>A</sub>, X<sub>B</sub> en Y<sub>B</sub> (zie figuur hieronder). In vele gevallen kan men echter toch nog de momentenvergelijking voor het geheel opschrijven als een vergelijking in één onbekende, die ogenblikkelijk op te lossen is en zo een vertrekpunt kan vormen voor het handmatig oplossen van het stelsel. In dit geval kan men
<br clear="all"/>
[[afbeelding:manOpLadder2Bgeheel.png|left|man op ladder: evenwicht van 't geheel]]
[[afbeelding:manOpLadder2B.png|right|man op ladder: onderdelen]]
<br clear="all"/>
===De vergelijkingen===
Zij l opnieuw de lengte van elk deel van de ladder, d<sub>m</sub> de lengte van de grond tot het aangrijpingspunt van het gewicht van de man langs de ladder gemeten. Men onderstelt dat het zwaartepunt van de ladder op halve hoogte ligt.
Regel 247:
De momentenvergelijking t.o.v. A voor het geheel:
:<math>\sum M_i = -G_m.d_m.\cos \alpha - G_L.(l/2).\cos \alpha - G_R.(3l/2).\cos \alpha + Y_B.2l.\cos \alpha = 0 </math>
Deze vergelijking is dezelfde als in het vorige geval, daar X<sub>A</sub> en X<sub>B</sub> geen moment hebben t.o.v. A. Ze bevat slechts 1 onbekende, nl. Y<sub>B</sub>, en deze kan dus onmiddellijk uitgerekend worden. De oplossing invoeren in de vergelijkingen voor het
==Meervoudige contacten==
Regel 262:
:<math> \sum \vec F_i = 0 </math>
[[afbeelding:meervoudigContact2.png|right|meervoudig contact met fictief knooppunt]]
In plaats van de actie-reactiewet komt nu de eis dat de som van als deze krachten nul is. Aan deze eis kan op een eenvoudige en veilige manier voldaan worden door het invoeren van een '''fictief knooppunt'''. In plaats van de voorwerpen met elkaar te laten interageren, laat men ze interageren met een zelf gecreëerd knooppunt, in dit geval het punt D. Tussen dit knooppunt en elk van de voorwerpen kan nu wel de actie-reactiewet toegepast worden. En voor een massaloos punt geldt in elk geval, versnelling of rust, dat de som van de krachten die erop werken moet nul zijn. Dit leidt op zeer eenvoudige manier tot de bijkomende vergelijking dat de som van alle krachten op D nul moet zijn. In die vergelijking komen dan in eerste instantie de tegengestelde krachten van de bovenstaande vergelijking, maar als men beide leden met -1 zou vermenigvuldigen, komt men op dezelfde vergelijking.
Bemerk dat het getekende systeem feitelijk hyperstatisch is. Er zijn 3 vlakke onderdelen, wat 3 x 3 vergelijkingen oplevert. Dan zijn er nog de 2 vergelijkingen voor het fictief knooppunt. Dat levert in
=Vakwerken=
Regel 276:
* dat de belasting(en) aangrijpen in de knooppunten (en dus niet ergens op de staven).
Onder deze onderstellingen moeten de krachten in de staven volgens de staven liggen, zoals hoger vermeld onder [[#Ideale_staaf| ideale staaf]]. Men zal dus geen vergelijkingen opschrijven voor de staven, maar alleen voor de knooppunten. Op beide einden van elke staaf werken gelijke maar tegengestelde krachten werken. Deze krachten kunnen de staaf samendrukken of uitrekken. In het eerste geval zegt men dat de staaf onder druk staat, in het tweede dat ze onder trek staat. Daar het woord "spanning" verwijst naar trek, wordt conventioneel een trekkracht in een staaf aangeduid met een plusteken en druk met een minteken. Deze aanduidingen van het resultaat van de berekeningen heeft echter niets te maken met de tekens die in de vergelijkingen kunnen voorkomen. Soms werden de stukken die op druk belast worden, in hout uitgevoerd, soms werden stukken die op trek belast worden, vervangen door kabels. Voor stukken die op druk belast worden, moet men opletten voor het "knikken" van het materiaal. Het risico hiervoor is kleiner bij een houten balk van voldoende dikte dan bij metalen profielen. Om een idee te krijgen of een staaf op druk of trek belast wordt, kan men zich inbeelden dat men de staaf wegneemt en dan de vraag stellen of de knooppunten waartussen deze staaf bevestigd was, naar elkaar toe zouden komen (druk) of uit elkaar zouden gaan (trek). Het is op die manier vrij duidelijk dat bv. de staaf BC op druk belast is en de staaf AE op trek.
[[afbeelding:vakwerk1.png|right|Vakwerk met alle krachten]]
Voor elke knooppunt moet gelden dat de som van de krachten 0 is. De krachten op de knooppunten zijn de reacties van de krachten op de staven. Wanneer een kracht op een staaf drukt,
Om de krachten in alle staven te vinden, zal men moeten vertrekken van een knooppunt met maar 2 onbekende krachten, aangezien er slecht 2 projecties kunnen opgeschreven worden. Meestal bestaat zulk een knooppunt niet. Daar het vakwerk in zijn geheel echter onvervormbaar is, kan men ook het evenwicht voor het geheel afzonderlijk opschrijven. Dit levert drie vergelijkingen waaruit de drie uitwendige krachten kunne worden berekend. Eens dat gebeurd heeft men zowel in A als in B een knooppunt met maar 2 onbekenden. Vertrekkend van A kan men bv. de krachten in de staaf AB en AE uitrekenen. Dan blijven er in B ook maar 2 onbekenden meer, waarna er zowel in C als E maar 2 onbekenden overblijven. Er blijven echter maar 3 onbekende staafkrachten meer te berekenen, zodat men van de 4 vergelijkingen en maar 3 zal moeten gebruiken. De vergelijkingen van het knooppunt D blijkt men niet meer nodig te hebben. Dat is niet verwonderlijk. De vergelijkingen van het evenwicht voor het geheel kunnen afgeleid worden uit de vergelijkingen voor de knooppunten. Als k het aantal knooppunten is, dan blijven er in het stelsel maar 2k-3 onafhankelijke vergelijkingen over. Dit levert een eerste manier om het aantal staven in een vakwerk te bepalen. Aangezien er maar 2k-3
[[afbeelding:vakwerk3.png|right|Bepalen van aantal staven]]
Regel 287:
: aantal staven = (2 x aantal knooppunten) - 3
Bij sommige constructies worden staven gebruikt waarin geen kracht schijnt op te treden. Dit is bv. het geval in knooppunten waar 3 staven samenkomen, waar geen uitwendige belasting is en waar 2 van de 3 staven perfect in elkaars verlengde liggen. Men moet er echter rekening mee houden dat er altijd een lichte vervorming optreedt onder belasting. Die schijnbaar overbodige verbindingen kunnen dan wel een rol gaan spelen. Ook kunnen ze een rol spelen als er wel een belasting komt op het knooppunt. Een belangrijke ontwikkelaar van vakwerken voor daken van fabriekshallen en stations was de Fransman Polonceau.
Regel 326:
S<sub>CD</sub> = S<sub>CE</sub> = 288,7 kg (druk)<br />
Om de kracht in staaf DE te bepalen, wordt beroep gedaan op knooppunt D:<br />
<math>\sum X_i = S_{CD}\cos 60 - S_{DE} = 0</math><br />
Hieruit volgt: S<sub>DE</sub> = 144,3 kg (trek).
Regel 345:
:<math> -T_y(x) + T_y(x+\Delta x) = g_l(x) \Delta x</math>
[[afbeelding:Kabel2.pdf|right|200px|Stukje kabel]]
Deelt men beide leden door Δx en laat men Δx naar 0 gaan, dan wordt dit:
:<math> \frac{d}{dx}T_y(x) = g_l(x)</math>
In de limiet moeten beide spanningen de richting hebben van de raaklijn aan de kabel:
Regel 402:
:<math>h_m = |y(0)|= \frac{T_x}{g\mu}\left [\cosh(\frac{g\mu}{T_x}\frac{AB}{2})-1 \right ]</math>
Galileo dacht dat de vorm van een doorhangende ketting of kabel een parabool was. Bernouilli was de eerste om de correcte vorm te vinden. Het verschil is echter klein. Men kan de parabool als een 1e
Deze vergelijkingen worden dikwijls afgeleid door een stukje te beschouwen met lengt s en vertrekkend naar rechts vanaf het onderste punt. Men vindt dat dat de T<sub>y</sub> moet gelijk zijn aan het gewicht van dit stukje. Dit afleiden naar x levert een uitdrukking als hierboven
Regel 412:
[[afbeelding:Bending.svg|right|250px|doorbuigende balk]]
Om de vorm van de balk te kunnen afleiden moet eerst de [[w:Wet van Hooke| wet van Hooke]] in herinnering gebracht worden. Deze stelt dat de vervorming van een lichaam binnen een groot gebied (het elasticiteitsgebied) evenredig is met kracht. Als men een te grote kracht aanlegt, komt men in het plastische gebied, waar de evenredigheid niet meer opgaat. Voor een veer is de evenredigheidsfactor de stijfheid k, voor een kabel of ander stuk materiaal is het de elasticiteitsmodulus E, ook wel [[w:Young's_modulus| modulus van Young genoemd]].
Men kan de wet dan schrijven
:<math>\sigma = E\epsilon</math>
met σ de spanning (kracht per oppervlak), ε de relatieve uitrekking (Δ L/L).
Regel 419:
[[afbeelding:Poutre_rayon_courbure.svg|right|buiging en kromtestraal]]
Wanneer een balk doorbuigt, zoals in de figuur,
Om de differentiaalvergelijking op te stellen beschouwt men een zeer klein stukje van de gebogen balk met dikte Δx. Men kan de vorm dan benaderen door de osculerende cirkel met straal ρ. De neutrale lijn heeft dan een lengt R.dθ, een punt erboven of eronder een lengte (R+y)dθ. De totale vervorming is dus y.dθ
Regel 442:
Deze formule wordt de '''Euler-Bernoulli vergelijking''' genoemd (zie in de Engelse Wikipedia onder [[w:en:Euler-Bernoulli_beam_equation| "Euler-Bernoulli beam equation"]]).. Ze geeft de vervorming van een klein stukje balk als er op beide zijden een moment M, maar met tegengestelde zin, uitgeoefend wordt.
Maar wat is het moment dat in deze formule voorkomt? Het kleine stukje dikte Δx, waarvoor de formule geldt, kan zich op elke punt van de balk bevinden. Dan is het moment links het moment dat door het
[[afbeelding:Buiging-balk.pdf|right|250px|buiging van een balk]]
- een moment van de kracht in het steunpunt A. De kracht in elk steunpunt moet de helft zijn van het gewicht. F<sub>A</sub> = G/2 = gμL/2 , met g de gravitatieversnelling en μ de massa per meter. Het tegengestelde moment is dan x.F<sub>A</sub> = gμLx/2<br />
Regel 465:
===Ingeklemde balk===
Als tweede voorbeeld wordt een balk beschouwd die maar aan één zijde vastgemaakt is. Voor evenwicht is dan vereist dat daar een inklemming is
[[afbeelding:Buiging-balk-2.pdf|right|250px|ingeklemde balk met vrij uiteinde]]
:<math>\displaystyle M_z = -\mu g(L-x)(L-x)/2 = (\mu g/2)(L-x)^2</math>
Regel 479:
:<math> |y(L)| = \frac{g\mu}{8EI}L^4 </math>
Als men met evenwicht van de momenten op het stuk links zou werken,
:<math>y''(x) = \frac{1}{EI}\left (\frac{-GL}{2} + F_Ax - \frac{\mu gx^2}{2}\right ) = \frac{\mu g}{2EI} (-L^2 + 2Lx -x^2)</math>
Voor het momentenevenwicht van het stukje AP is de eerste term hierin het tegengestelde van het inklemmingsmoment M<sub>A</sub>, de tweede het tegengestelde van het moment van de kracht F<sub>A</sub> en de derde het tegengestelde van het moment van het gewicht van het stukje AP. Men kan gemakkelijk controleren dat dit tot dezelfde oplossing leidt. En, alhoewel het opstellen van de eerste vergelijking wat ingewikkelder is, is de rest van de berekening eenvoudiger.
Als men de doorsnede van de balk in elke richting vergroot met een factor k,
Uit de berekening van het oppervlaktetraagheidsmoment blijkt dat de punten het verst van het neutrale vlak het meest bijdragen tot de draagkracht van de balk. Daarom worden stalen balken dikwijls in de vorm van een hoofdletter <math>I</math> gemaakt of gebruikt men kokervormige balken.
Bij belastingen in sommige punten zal men meerdere differentiaalvergelijkingen moeten opstellen omdat het moment in de snede rekening moet houden met die belasting als men de puntbelasting gepasseerd is.
|