Klassieke Mechanica/Voorwerpendynamica: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k taalfoutje(s) opgelost met AWB |
|||
Regel 3:
=Het massacentrum=
==Bepaling van het massacentrum==
In het vorige hoofdstuk werd de beweging bestudeerd van een puntmassa. Een puntmassa kan niet roteren
In eerste instantie kan men zich de vraag stellen of er bij een voorwerp een punt is dat beweegt alsof alle uitwendige krachten daarop werken. Men onderstelt hiervoor een verzameling van puntmassa's m<sub>i</sub> met posities <math>\vec{r_i}</math> t.o.v. een vast punt. Op elk punt werken een aantal uitwendige krachten met resultante <math>\vec{F_i^{ext}}</math> en inwendige krachten met resultante <math>\vec{F_i^{int}}</math>. Volgens de tweede wet van Newton kan men dan schrijven:
:<math>\vec{F_i^{ext}} + \vec{F_i^{int}} = m_i\vec{a_i}</math>
Wanneer men deze vergelijkingen lid aan lid optelt voor alle punten, dan verdwijnen de inwendige krachten uit deze som. Er blijft dus:
Regel 21:
:<math>\sum{\vec{F_i^{ext}}} = m\vec{a_C} </math>
Of in woorden: '''het massacentrum beweegt alsof alle uitwendige krachten erop aangrijpen'''. Alles wat in vorig hoofdstuk gezegd werd over de beweging van een puntmassa, geldt voor de beweging van het massacentrum (anders had men waarschijnlijk niet zo veel aandacht besteed aan de beweging van een puntmassa).
Deze afleiding geldt zowel voor vervormbare als onvervormbare (of starre) systemen. Bij onvervormbare systemen zal het massacentrum een vaste plaats hebben in het voorwerp, bij vervormbare zal het zich binnen het systeem kunnen verplaatsen.
Men kan de coördinaten van het massacentrum uitrekenen door de uitdrukking (2) te projecteren op b.v. de assen van een cartesisch assenkruis:
:<math>x_C = \frac{\sum{m_i x_i}}{m} \quad y_C = \frac{\sum{m_i y_i}}{m} \quad z_C = \frac{\sum{m_i z_i}}{m} </math>
Indien men een voorwerp beschouwt als opgebouwd uit een continue massaverdeling, dan
:<math>x_C = \frac{\int{x.dm}}{\int{dm}} \quad y_C = \frac{\int{y.dm}}{\int{dm}} \quad z_C = \frac{\int{z.dm}}{\int{dm}} </math>
Regel 46:
4. De aangrijpingspunten van de uitwendige krachten hebben dus geen belang voor de beweging van het massacentrum. Zij hebben nochtans wel belang voor de rotatie van het voorwerp of, meer algemeen, de beweging t.o.v. het massacentrum. Men zal verder de algemene beweging van een voorwerp splitsen in een beweging van het massacentrum, de translatiecomponent, en een beweging t.o.v. het massacentrum. Als het voorwerp roteert dan zal de verplaatsing van het aangrijpingspunt van de uitwendige krachten anders zijn dan indien het niet roteert. Men zal verder aantonen dat de som van de uitwendige krachten met de verplaatsing van het massacentrum bepalend is voor de kinetische energie van de translatie en de verplaatsing t.o.v. het massacentrum voor een tweede term. Bij een onvervormbaar voorwerp zal die de kinetische energie van de rotatie voorstellen.
5. Massacentrum en zwaartepunt worden bepaald met dezelfde formules voor zover men mag onderstellen dat de aantrekkingskrachten van de aarde op elk deeltje van een voorwerp evenwijdige krachten zijn. Als deze onderstelling niet meer klopt,
==Beweging t.o.v. het massacentrum==
Regel 73:
:<math> \vec {L}=\vec{J} + \vec{S}</math>
Bij het berekenen van het impulsmoment t.o.v. het massacentrum mag men zowel met de absolute als met de relatieve snelheden rekenen. Dat is uit deze formule te begrijpen. Bij het rekenen met de absolute snelheden bekomt men term in r<sub>C</sub>, maarbij een berekening t.o.v. het massacentrum is r<sub>C</sub> = 0, zodat alleen de bijdrage van de relatieve snelheden
==Massacentrum en energie==
| |||