Klassieke Mechanica/Voorwerpendynamica-2: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 12:
Men kan het rechterlid van de wet van Newton schrijven als m.a, maar ook als de afgeleide van de impuls p = m.v als:<br />
<math>\quad \sum_i \vec{F}_i = \frac {d\vec{p}}{dt} </math>
<br />Op analoge manier is de basiswet voor de rotatie te schrijven als (afleiding infra):<br />
:<math> \sum_i M_{P} \vec{F}_i = \frac {d\vec{L}_P}{dt} </math>
Regel 29:
Wanneer men een verzameling van puntmassa's beschouwt, de wet van Newton op elke massa toepast en dan het moment neemt van beide leden en alles lid aan lid optelt, bekomt men:
:<math>\sum \vec r_i \times\vec F_i = \sum \vec r_i \times m_i\vec a_i</math> (1)<br />
Men zou normaal een dubbele som moeten invoeren voor de krachten, maar men kan het ook bij één som houden, waarbij sommige r<sub>i</sub> dezelfde zullen zijn. Bedenk dat de index i in het linkerlid niets te maken heeft met de index i in het rechterlid. De krachten kan men verdelen in uitwendige en inwendige krachten, d.i. krachten tussen de massa's onderling.
Anderzijds zou men het rechterlid willen schrijven als de afgeleide van het impulsmoment L, nl. <math> \vec {L} = \sum_i \vec{r}_i \times m_i \vec {v}_i </math>. Als men hiervan de afgeleide neemt, dan bekomt men twee sommen. De vraag is nu in welke gevallen dit zich herleid tot één som zoals in de betrekking hierboven. Om dit volledig algemeen te bekijken, kan men het moment nemen t.o.v. een willekeurig punt P, dat niet noodzakelijk moet stilstaan. Als r<sub>P</sub> de positievector is van P t.o.v. de oorsprong en r<sub>i</sub> de positie van het i-de punt t.o.v. de oorsprong, dan is de positie van dit punt t.o.v. P gegeven door:
Regel 37:
Als men dit differentieert krijgt men:
:<math>\sum_i (\vec v_i - \vec v_P) \times m_i \vec {v}_i + \sum_i (\vec r_i - \vec r_P) \times m_i \vec {a}_i</math>
:<math>\sum_i \vec v_i \times m_i \vec {v}_i - \vec v_P \times \sum_i m_i \vec {v}_i + \sum_i (\vec r_i - \vec r_P) \times m_i \vec {a}_i</math>
Hierin is
* De tweede term is zeker ook 0 als P een stilstaand punt is. Bemerk dat het geen belang heeft of P een versnelling heeft, alhoewel men in dat geval het punt alleen kan gebruiken voor een ogenblikkelijke berekening en niet voor het opstellen van een differentiaalvergelijking.
* De tweede term is ook 0 als de snelheid van P evenwijdig is aan de snelheid van het massacentrum. Uit de definitie van het massacentrum volgt immers :
| |||