Transmissielijnen/Smith-chart: verschil tussen versies

De ingangsimpedantie Z<submath>Z_{in}</submath> hangt met de belastingsimpedantie samen door de volgende relatie voor de relatieve waarden:

In het verleden, vóór het gebruik van computers, lag dit anders. Er bleek echter een relatief eenvoudige grafische methode te zijn, de z.g.n. Smith-kaart, die berustte op de relatie tussen de (relatieve) impedantie ''<math>z''</math> en de reflectiecoëfficiënt ''&<math>\Gamma;''</math> op enig punt van de lijn.

:<math> \, z = \frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}</math>

:<math> \, \Gamma = \frac{z-1}{z+1}</math>.

:<math> \, \Gamma_0 = \Gamma_L e^{-2\gamma L}</math>,

De hele procedure verloopt grafisch m.b.v. een Smith-kaart, een nomogram voor het omrekenen van de beide complexe parameters &<math>\Gamma;</math> en <math>Z</math> in elkaar. Tegenwoordig is het gebruik van Smith-kaarten in de praktijk min of meer achterhaald.

:<math> \, \Gamma = x+jy</math>

:<math> \, z = r+ji</math>

:<math> \, z = r+ji =\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma} = \frac{1+x+jy}{1-x-jy}=\frac{1-x^2-y^2+2jy}{(1-x)^2+y^2} </math>.

:<math> \, r = \frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}</math>

:<math> \, i = \frac{2x}{(1-x)^2+y^2}</math>

:<math>\, r(1-x)^2+ry^2 = 1-x^2-y^2</math>

:<math>\, i(1-x)^2+iy^2 = 2y </math>,

:<math>\, (\frac 1i )^2 = (x-1)^2 + (y - \frac 1i)^2 </math>

Voor vaste <math>i</math> zijn dit cirkels om het middelpunt <math>(1,1/i)</math> met straal <math>1/i</math>.

In de bovenstaande figuur 1 zien we het principe van een Smith-kaart. De figuur toont volle cirkels voor de waarden 0, 0.33, 1 en 3 van het reële deel <math>r</math> van de impedantie <math>z</math>. De delen van cirkels daar "dwars" op zijn de lijnen voor de waarden 2, 1, 0.5, 0 (=as), -0.5, -1 en -2 van het imaginaire deel i van de impedantie <math>z</math>.

In de figuur is een (relatieve) impedantie <math>z = 0.{,}33 + 0.5j{,}5\,j</math> aangegeven, dus met <math>\mathrm{Re}(z) = 0.{,}33</math> en <math>\mathrm{Im}(z) = 0.{,}5</math>. De bijbehorende reflectiecoëfficiënt Γ<math>\Gamma</math> kan worden afgelezen in de gewone rechthoekige coördinaten, maar wordt meestal in poolcoördinaten <math>|Γ\Gamma|</math> en <math>\arg(Γ\Gamma)</math> gegeven. De absolute waarde <math>|Γ\Gamma|</math> kan gevonden worden als fractie van de straal van de buitenste cirkel. Er geldt: <math>|Γ\Gamma| = 0.{,}6</math> en <math>\arg(Γ\Gamma) = 123&deg;^\circ</math>.

De gegeven impedantie <math>z</math> wordt uitgezet op het cirkelvormige coördinatenstelsel voor het reele deel <math>r</math> en het imaginaire deel <math>i</math> van <math>z</math>. In het centrale rechthoekige coördinatenstelsel stelt het uitgezette punt de reflectiecoëfficiënt &<math>\Gamma;</math> voor. Dit stelsel is voor het gemak gegeven in poolcoördinaten en bepaalt dus <math>|&\Gamma; |</math> en <math>\arg(&\Gamma; )</math>. In figuur 2 is de (relatieve) impedantie <math>z = 0.{,}33 + 0.5j{,}5\,j</math> uitgezet.

Bij een verliesvrije lijn wordt, door omcirkelen om de oorsprong over de juiste hoek, de reflectiecoëfficiënt aan het begin (of in een ander punt) van de lijn gevonden. In geval van demping door de lijn, kan de grootte van de reflectiecoëfficiënt aangepast worden. In figuur 2 komt de lengte van de lijn (of het relevante gedeelte) overeen met een hoek &<math>\Phi; = 38.{,}5&deg;^\circ</math>. Door omcirkelen over het dubbele van deze hoek wordt de reflectiecoëfficiënt aan het begin (of op een ander plaats) van de lijn gevonden.

Op het cirkelvormige coördinatenstelsel kan de bijbehorende impedantie <math>z'</math> worden afgelezen. In het geval van figuur 2 is dat: <math>z' = 1.{,}25 + 1.6j{,}6\,j</math>.

De Smith-kaart kan ook gebruikt worden om van een (relatieve) impedantie <math>z</math> de reciproke waarde <math>1/z</math> te bepalen. Er geldt immers:

:<math> \, z = \frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}</math>,

:<math> \, \frac 1z = \frac{1-\Gamma}{1+\Gamma}</math>,

en de waarde daarvan kan afgelezen worden bij <math>-&\Gamma;</math>.

In figuur 3 lezen we van de impedantie <math>z = 0.{,}33 + 0.5j{,}5\,j</math> de inverse waarde <math>1/z = 1.{,}92 - 1.38j{,}38\,j</math> af.