Klassieke Mechanica/Statica: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k Wijzigingen door 213.224.19.202 hersteld tot de versie na de laatste wijziging door Huibc |
|||
Regel 270:
[[afbeelding:vakwerk2.png|right|Voorbeeld van vakwerk]]
Bij het bouwen van bruggen, bij het ontwerpen van een dak boven een fabriekshal of spoorwegstation wenst men dikwijls een zo groot mogelijke stijfheid en draagkracht te bekomen met een minimum aan materiaal. Hiervoor wordt dan dikwijls beroep gedaan op vakwerken, constructies die bestaan uit relatief lichte staven of balken, soms aangevuld met kabels. Een torenkraan is ook een mooi voorbeeld van een constructie waarbij maximale stijfheid bereikt wordt met een minimum aan materiaal, zowel voor het verticale deel, de toren, als voor de arm. Bij deze (inleidende) bespreking zullen echter alleen vlakke vakwerken besproken worden. In het Engels spreekt men van "trusses".
Bij het ontwerp van een vakwerk gaat men ervan uit dat
* het eigen gewicht van de staven verwaarloosbaar is in vergelijking met de krachten die erin optreden;
* de verbindingen in eerste instantie als scharnierend beschouwd worden. Dit betekent dat de stijfheid moet komen van de juiste plaatsing van de staven, niet van de stijfheid in de verbindingen;
* dat de belasting(en) aangrijpen in de knooppunten (en dus niet ergens op de staven).
Onder deze onderstellingen moeten de krachten in de staven volgens de staven liggen, zoals hoger vermeld onder [[#Ideale_staaf| ideale staaf]]. Men zal dus geen vergelijkingen opschrijven voor de staven, maar alleen voor de knooppunten. Op beide einden van elke staaf werken gelijke maar tegengestelde krachten werken. Deze krachten kunnen de staaf samendrukken of uitrekken. In het eerste geval zegt men dat de staaf onder druk staat, in het tweede dat ze onder trek staat. Daar het woord "spanning" verwijst naar trek, wordt conventioneel een trekkracht in een staaf aangeduid met een plusteken en druk met een minteken. Deze aanduidingen van het resultaat van de berekeningen heeft echter niets te maken met de tekens die in de vergelijkingen kunnen voorkomen. Soms werden de stukken die op druk belast worden, in hout uitgevoerd, soms werden stukken die op trek belast worden, vervangen door kabels. Voor stukken die op druk belast worden, moet men opletten voor het "knikken" van het materiaal. Het risico hiervoor is kleiner bij een houten balk van voldoende dikte dan bij metalen profielen. Om een idee te krijgen of een staaf op druk of trek belast wordt, kan men zich inbeelden dat men de staaf wegneemt en dan de vraag stellen of de knooppunten waartussen deze staaf bevestigd was, naar elkaar toe zouden komen (druk) of uit elkaar zouden gaan (trek). Het is op die manier vrij duidelijk dat bv. de staaf BC op druk belast is en de staaf AE op trek.
[[afbeelding:vakwerk1.png|right|Vakwerk met alle krachten]]
Voor elke knooppunt moet gelden dat de som van de krachten 0 is. De krachten op de knooppunten zijn de reacties van de krachten op de staven. Wanneer een kracht op een staaf drukt, zal de reactie ook op het knooppunt drukken. Trek of druk op de staaf blijven dus ook trek of druk op het knooppunt. Een voorbeeld van een volledige opsplitsing van het hoger gegeven vakwerk vindt men in de figuur hiernaast. De zin van de krachten is niet overal correct. Dat zal ook blijken in de berekening hieronder. Bemerk dat ook de krachten die een staaf op de knooppunten uitoefent, gelijk maar tegengesteld zijn. Opdat het systeem niet hyperstatisch zou zijn, wordt het meestal aan de omgeving bevestigd door een scharnier (hier in A) een een roloplegging (hier in D). Dit levert 2 uitwendige krachtcomponenten in A en één verticale kracht in D.
Om de krachten in alle staven te vinden, zal men moeten vertrekken van een knooppunt met maar 2 onbekende krachten, aangezien er slecht 2 projecties kunnen opgeschreven worden. Meestal bestaat zulk een knooppunt niet. Daar het vakwerk in zijn geheel echter onvervormbaar is, kan men ook het evenwicht voor het geheel afzonderlijk opschrijven. Dit levert drie vergelijkingen waaruit de drie uitwendige krachten kunne worden berekend. Eens dat gebeurd heeft men zowel in A als in B een knooppunt met maar 2 onbekenden. Vertrekkend van A kan men bv. de krachten in de staaf AB en AE uitrekenen. Dan blijven er in B ook maar 2 onbekenden meer, waarna er zowel in C als E maar 2 onbekenden overblijven. Er blijven echter maar 3 onbekende staafkrachten meer te berekenen, zodat men van de 4 vergelijkingen en maar 3 zal moeten gebruiken. De vergelijkingen van het knooppunt D blijkt men niet meer nodig te hebben. Dat is niet verwonderlijk. De vergelijkingen van het evenwicht voor het geheel kunnen afgeleid worden uit de vergelijkingen voor de knooppunten. Als k het aantal knooppunten is, dan blijven er in het stelsel maar 2k-3 onafhankelijke vergelijkingen over. Dit levert een eerste manier om het aantal staven in een vakwerk te bepalen. Aangezien er maar 2k-3 vergelijkingen overblijven voor het bepalen van de krachten in de staven, mogen er ook maar 2k-3 staven in een vakwerk zijn.
[[afbeelding:vakwerk3.png|right|Bepalen van aantal staven]]
Er is nog een andere manier om aan dat aantal te geraken. Het kleinste vakwerk bestaat natuurlijk uit een driehoek. Dat heeft 3 staven en 3 knooppunten. Als men iets wil toevoegen dan is het minimaal 1 knooppunt en 2 staven. Dan heeft men 4 knooppunten en 5 staven. Elke toevoeging van een knooppunt betekent ook 2 staven meer. De formule wordt dus:<br />
: aantal staven = (2 x aantal knooppunten) - 3
Bij sommige constructies worden staven gebruikt waarin geen kracht schijnt op te treden. Dit is bv. het geval in knooppunten waar 3 staven samenkomen, waar geen uitwendige belasting is en waar 2 van de 3 staven perfect in elkaars verlengde liggen. Men moet er echter rekening mee houden dat er altijd een lichte vervorming optreedt onder belasting. Die schijnbaar overbodige verbindingen kunnen dan wel een rol gaan spelen. Ook kunnen ze een rol spelen als er wel een belasting komt op het knooppunt. Een belangrijke ontwikkelaar van vakwerken voor daken van fabriekshallen en stations was de Fransman Polonceau. Een van zijn eerste vakwerken was een overspanning voor het dak van een station in Parijs in 1837 [http://www.corusconstruction.com/en/reference/teaching_resources/architectural_studio_reference/history/development_of_the_clear_span_building/naval_dock_buildings,_market_halls_and_factories/]. Zijn naam staat ook vermeld op de [[w:fr:Liste_des_soixante-douze_noms_de_savants_inscrits_sur_la_tour_Eiffel| Eiffeltoren]]. Zijn naam is ook verbonden aan het rechse vakwerk in de figuur hieronder.
Er is een grote verscheidenheid aan vakwerken mogelijk. Men kan op internet een gratis Nederlands programma vinden om vakwerken te tekenen en te berekenen (onder Windows) op http://home.wanadoo.nl/gerardvansanten/vakwerk.htm. De driedimensionele vakwerken, zoals bij een torenkraan, kwamen pas na de 2de wereldoorlog volop in gebruik.
[[afbeelding:Polonceau.png|center|Ontwerpen van Polonceau]]
==Berekening==
Regel 314 ⟶ 336:
==Kettingen en kabels==
Men beschouwt een kabel die opgehangen is tussen de punten A en B. Het totale gewicht van de kabel is G<sub>k</sub>. Dit gewicht grijpt aan in het massacentrum van de kabel, voor een homogene dus in het midden. De hele kabel moet natuurlijk
[[afbeelding:Kabel1-cairo.pdf|right|250px| Doorhangende kabel]]
:<math>-F_{Ax} + F_{Bx} = 0 </math>
:<math> F_{Ay} + F_{By} = G_k </math>
Men zou ook nog de momentenvergelijking kunnen opschrijven. Wanneer men een willekeurig punt C op de kabel beschouwt en onderstelt dat men de kabel daar doorsnijdt, dan zal men op elk deel van de kabel een kracht '''T''' moeten uitoefen om de beide einden bij elkaar te houden. Dit noemt men de spanning in de kabel. Wat hierboven gezegd is over de projecties op de x-as voor het punt B, geldt dan ook voor spanningen in C. M.a.w T<sub>x</sub> = F<sub>A,x</sub> = constant (I).
Als men een klein stukje van de kabel met lengte Δx beschouwt in het punt met coördinaten (x,y), dan kan men zeggen dat er links een kracht '''T'''(x) op werkt en rechts een kracht '''T'''(x+Δx). Volgens wat hierboven gezegd werd, moet de x-component van beide gelijk zijn en gelijk aan F<sub>A,x</sub>. Het gewicht van het stukje kabel kan men schrijven in functie van g<sub>l</sub>, het gewicht per meter in de x-richting, als ΔG = g<sub>l</sub>.Δx . Men krijgt dan in de y-richting:
:<math> -T_y(x) + T_y(x+\Delta x) = g_l(x) \Delta x</math>
[[afbeelding:Kabel2.pdf|right|200px|Stukje kabel]]
Deelt men beide leden door Δx en laat men Δx naar 0 gaan, dan wordt dit:
:<math> \frac{d}{dx}T_y(x) = g_l(x)</math>
In de limiet moeten beide spanningen de richting hebben van de raaklijn aan de kabel:
:<math> \frac{dy}{dx} = \frac{T_y(x)}{T_x} </math> (II)
Men differentieert dit nogmaals, met T<sub>x</sub> = constant, en substitueert de uitdrukking die hierboven gevonden werd voor de afgeleide van T<sub>y</sub>:
:<math> \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{g_l(x)}{T_x}</math> (III)
Met deze vergelijkingen kan men nu een paar concrete gevallen bekijken.
===Hangbrug===
[[afbeelding:Suspension_bridge_(PSF).svg|right|250px|hangbrug]]
Men onderstelt dat het eigen gewicht van de kabel en van de verticale verbindingen klein is in vergelijking met het gewicht van het brugdek. Voor het brugdek mag men onderstellen dat het gewicht per meter in horizontale richting constant is. Dan krijgt men als basisvergelijking:
:<math> \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{g_l}{T_x}</math>
waarbij het rechterlid een constante is. Na dubbele integratie krijgt men dus
:<math> y(x) = \frac{g_l}{T_x}\frac{x^2}{2} + C_1x + C_2 </math>
De vorm van de kabel is in dit geval een parabool. De vergelijking bevat 3 constanten. Hiervoor heeft men 3 randvoorwaarde die moeten voldaan zijn:<br />
- de kabel moet door de punten A en B passeren: y(x<sub>A</sub>)= h<sub>A</sub> en y(x<sub>B</sub>)= h<sub>B</sub>.<br />
- De spanning Tx hangt vooral af van de lengte van de kabel t.o.v. de afstand AB:
:<math> L = \int_A^B \sqrt{dx^2+dy^2} = \int_A^B \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx =
\int_A^B \sqrt{1+(C_2 + \frac{g_l}{T_x}x)^2}</math>
Deze integraal kan herleid worden tot de standaard vorm:
:<math>\int\sqrt{a^2+x^2}dx = \frac{1}{2}[x\sqrt{a^2+x^2}+ a^2\log(x+\sqrt{a^2+x^2})]</math>
- Ofwel gebruikt men de positie van het laagste punt, y'=0, als die bekend is.
De spanning in A en B tenslotte kan nu ook opgeschreven worden:
:<math> F_A = \sqrt{F_{A,x}^2=F_{B,x}^2} = T_x\sqrt{1+(\frac{dy}{dx}(x_A))^2}</math>
en analoog voor de F<sub>B</sub>.
===Doorhangende kabel===
In dit geval is het gewicht per meter constant, niet het gewicht per horizontale afstand. Een stukje met horizontale lengte Δx heeft een lengte Δl. Men krijgt dan voor het gewicht ervan:
:<math> g_l(x)\Delta x = g\mu\frac{\Delta l}{\Delta x}\Delta x</math>
met μ de massa per meter.
In de limiet, voor δx gaande naar 0, wordt dit:
:<math> g_l(x) = g\mu\frac{dl}{dx}= g\mu\frac{\sqrt{dx^2+ dy^2}}{dx} = g\mu\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}</math>
Invoeren in de vergelijking voor de 2e afgeleide levert:
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{g\mu}{T_x}\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}</math>
De oplossing hiervan is een cosh (hyperbolische cosinus) of '''kettinglijn''':
:<math> y(x) = \frac{T_x}{g\mu}\left [\cosh(\frac{g\mu}{T_x}x+C_1) + C_2\right]</math>
Er zijn weer 3 constanten, die men uit de randvoorwaarden moet halen, zoals hierboven. Voor de hyperbolische functies gelden volgende betrekkingen:
:<math>1+\cosh^2=\sinh^2, \quad \frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x), \quad \frac{d}{dx}\cosh(x) =\sinh(x), \quad \cosh(0)=1, \quad \sinh(0)=0</math>
De uitdrukking voor de lengte van de kabel blijkt nu echter eenvoudiger:
:<math> \begin{matrix}L = \int_A^B \sqrt{1 +(\frac{dy}{dx})^2}dx = \int_A^B \sqrt{1 + (\sinh(\frac{g\mu}{T_x}x+C_1))^2} = \int_A^B \cosh(\frac{g\mu}{T_x}x +C_1) \\ = \frac{T_x}{g\mu} \left [ \sinh(\frac{g\mu}{T_x}x_A + C_1) - \sinh(\frac{g\mu}{T_x}x_B + C_1)\right ] \end{matrix}</math>
De constanten moeten meestal via iteratie bepaald worden.
Er treden vereenvoudigingen op indien de ophanging symmetrisch is en men de x-as door AB neemt met de oorsprong in het midden van AB. De vorm van de kromme is dan:
:<math>y(x) = \frac{T_x}{g\mu} \left [ \cosh(\frac{g\mu}{T_x}x) - \cosh(\frac{g\mu}{T_x} \frac{AB}{2})\right ]</math>
En de lengte van de kabel:
:<math>L= \frac{T_x}{g\mu} 2 sinh(\frac{g\mu}{T_x} \frac{AB}{2})</math>
De afstand van de lijn tussen A en B en het diepste punt van de kabel is dan:
:<math>h_m = |y(0)|= \frac{T_x}{g\mu}\left [\cosh(\frac{g\mu}{T_x}\frac{AB}{2})-1 \right ]</math>
Galileo dacht dat de vorm van een doorhangende ketting of kabel een parabool was. Bernouilli was de eerste om de correcte vorm te vinden. Het verschil is echter klein. Men kan de parabool als een 1e-ordebenadering beschouwen. De kettinglijn is iets smaller dan de parabool. Andere afleidingen (bv. [http://de.wikipedia.org/wiki/Katenoide Katenoide] in de Duitse Wikipedia) tonen aan dat de vorm onafhankelijk is van μ en g.
Deze vergelijkingen worden dikwijls afgeleid door een stukje te beschouwen met lengt s en vertrekkend naar rechts vanaf het onderste punt. Men vindt dat dat de T<sub>y</sub> moet gelijk zijn aan het gewicht van dit stukje. Dit afleiden naar x levert een uitdrukking als hierboven
:<math>\frac{T_y(s)}{dx} = g\mu\frac{ds}{dx}= g\mu\frac{\sqrt{dx^2 + dy^2}}{dx} = g\mu\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}</math>
==Doorbuiging van een balk==
| |||