Klassieke Mechanica/Statica: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
→Euler-Bernoulli vergelijking: correctie spelling "lengte" |
k →Continu vervormbare media: typog |
||
Regel 363:
- de kabel moet door de punten A en B passeren: y(x<sub>A</sub>)= h<sub>A</sub> en y(x<sub>B</sub>)= h<sub>B</sub>.<br />
- De spanning Tx hangt vooral af van de lengte van de kabel t.o.v. de afstand AB:
:<math> L = \int_A^B \sqrt{dx^2+dy^2} = \int_A^B \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx =
\int_A^B \sqrt{1+\left(C_2 + \frac{g_l}{T_x}x\right)^2}</math>
Deze integraal kan herleid worden tot de standaard vorm:
:<math>\int\sqrt{a^2+x^2}dx = \frac{1}{2}\left[x\sqrt{a^2+x^2}+ a^2\log\left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right)\right]</math>
- Ofwel gebruikt men de positie van het laagste punt, y'=0, als die bekend is.
De spanning in A en B tenslotte kan nu ook opgeschreven worden:
:<math> F_A = \sqrt{F_{A,x}^2=F_{B,x}^2} = T_x\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}(x_A)\right)^2}</math>
en analoog voor de F<sub>B</sub>.
Regel 379:
met μ de massa per meter.
In de limiet, voor δx gaande naar 0, wordt dit:
:<math> g_l(x) = g\mu\frac{dl}{dx}= g\mu\frac{\sqrt{dx^2+ dy^2}}{dx} = g\mu\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}</math>
Invoeren in de vergelijking voor de 2e afgeleide levert:
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{g\mu}{T_x}\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}</math>
De oplossing hiervan is een cosh (hyperbolische cosinus) of '''kettinglijn''':
:<math> y(x) = \frac{T_x}{g\mu}\left [\cosh\left(\frac{g\mu}{T_x}x+C_1\right) + C_2\right]</math>
Er zijn weer 3 constanten, die men uit de randvoorwaarden moet halen, zoals hierboven. Voor de hyperbolische functies gelden volgende betrekkingen:
:<math>1+\cosh^2=\sinh^2, \quad \frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x), \quad \frac{d}{dx}\cosh(x) =\sinh(x), \quad \cosh(0)=1, \quad \sinh(0)=0</math>
Regel 389:
De uitdrukking voor de lengte van de kabel blijkt nu echter eenvoudiger:
:<math> \begin{matrix}L = \int_A^B \sqrt{1 +(\frac{dy}{dx})^2}dx = \int_A^B \sqrt{1 + (\sinh(\frac{g\mu}{T_x}x+C_1))^2} = \int_A^B \cosh(\frac{g\mu}{T_x}x +C_1) \\ = \frac{T_x}{g\mu} \left [ \sinh(\frac{g\mu}{T_x}x_A + C_1) - \sinh\left(\frac{g\mu}{T_x}x_B + C_1\right)\right ] \end{matrix}</math>
De constanten moeten meestal via iteratie bepaald worden.
Er treden vereenvoudigingen op indien de ophanging symmetrisch is en men de x-as door AB neemt met de oorsprong in het midden van AB. De vorm van de kromme is dan:
:<math>y(x) = \frac{T_x}{g\mu} \left [ \cosh\left(\frac{g\mu}{T_x}x\right) - \cosh\left(\frac{g\mu}{T_x} \frac{AB}{2}\right)\right ]</math>
En de lengte van de kabel:
:<math>L= \frac{T_x}{g\mu} 2 \sinh\left(\frac{g\mu}{T_x} \frac{AB}{2}\right)</math>
De afstand van de lijn tussen A en B en het diepste punt van de kabel is dan:
:<math>h_m = |y(0)|= \frac{T_x}{g\mu}\left [\cosh\left(\frac{g\mu}{T_x}\frac{AB}{2}\right)-1 \right ]</math>
Galileo dacht dat de vorm van een doorhangende ketting of kabel een parabool was. Bernouilli was de eerste om de correcte vorm te vinden. Het verschil is echter klein. Men kan de parabool als een 1e-ordebenadering beschouwen. De kettinglijn is iets smaller dan de parabool. Andere afleidingen (bv. [http://de.wikipedia.org/wiki/Katenoide Katenoide] in de Duitse Wikipedia) tonen aan dat de vorm onafhankelijk is van μ en g.
Deze vergelijkingen worden dikwijls afgeleid door een stukje te beschouwen met lengt s en vertrekkend naar rechts vanaf het onderste punt. Men vindt dat dat de T<sub>y</sub> moet gelijk zijn aan het gewicht van dit stukje. Dit afleiden naar x levert een uitdrukking als hierboven
:<math>\frac{T_y(s)}{dx} = g\mu\frac{ds}{dx}= g\mu\frac{\sqrt{dx^2 + dy^2}}{dx} = g\mu\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}</math>
==Doorbuiging van een balk==
Regel 449:
:<math> y''(x) = \frac{g\mu}{2EI}(Lx-x^2)</math>
Na integreren krijgt men:
:<math> y'(x) = \frac{g\mu}{2EI}\left(\frac{Lx^2}{2} -\frac{x^3}{3}\right) + C_1</math>
Men kan de waarde van C<sub>1</sub> nu al bepalen uit het feit dat de raaklijn horizontaal moet zijn in het midden van de balk, dus uit y'(L/2) = 0. Na invullen wordt y'(x):
:<math> y' = \frac{g\mu}{2EI}\left(\frac{Lx^2}{2} -\frac{x^3}{3}\right) - \frac{g\mu\,L^3}{24EI} =
\frac{g\mu}{2EI}\left(\frac{Lx^2}{2} -\frac{x^3}{3}-\frac{L^3}{12}\right)</math>
Nogmaals integreren levert:
:<math> y(x) = \frac{g\mu}{2EI}\left(\frac{Lx^3}{6} -\frac{x^4}{12}-\frac{L^3x}{12}\right) + C_2</math>
Uit het feit dat y(0) = 0 is, volgt dat C<sub>2</sub> = 0. Men krijgt:
:<math> y(x) = \frac{g\mu}{24EI}(2Lx^3 -x^4-L^3x)</math>
| |||