Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 42:
==Stelling 20.2==
De matrix β die bij een symmetrische bilineaire vorm ''B'' op ''V''
===Bewijs===
Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> de betrokken basis is, geldt:
:<math>
Stel dat we een symmetrische bilineare vorm hebben, dan is
:<math> q:V\to F:v\mapsto
de bijhorende kwadratische vorm
:<math>
\begin{align} \forall v_1,v_1\in V:\\ q(v_1+v_2)&=
&=
&=q(v_1)+2
</math> Dus weten we, als
:<math> \frac{q(v_1+v_2)-q(v_1)-q(v_2)}{2}=
Deze formule
Aangezien we met een symmetrische vorm werken, wil dit zeggen dat de matrix ook
▲Aangezien we met een symmetrische vorm werken wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrische is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm.
===Basisverandering===
We zullen onderzoeken wat er
▲We zullen onderzoeken wat er gebeurd bij basisverandering. Stel dat je een nieuwe basis <math>\textstyle \beta'=\{v'_1,\ldots,v'_2\}</math> Dan weten we dat er een inverteerbare matrix <math>\textstyle P\in F^{n\times n}</math> bestaat zodat <math>\textstyle (v'_1,\ldots,v'_n)=P(v_1,\ldots,v_2)</math>. We kunnen dus een vector <math>\textstyle v\in V</math> op twee manieren ontbinden:
:<math>\begin{align} v&=\sum_{i=1}^n x_iv_i &=\sum_{i=1}^n x'_i v'_i\\
|