Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies

 
==Stelling 20.2==
De matrix β die bij een symmetrische bilineaire vorm ''B'' op ''V'' hoorthoor,t is symmetrisch.
 
===Bewijs===
Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> de betrokken basis is, geldt:
:<math>\!\beta_{ij}= B(v_i,v_j)= B(v_j,v_i)=\beta_{ji}</math>
 
 
 
Stel dat we een symmetrische bilineare vorm hebben, dan is
 
:<math> q:V\to F:v\mapsto \langle (v,v\rangle) </math>
 
de bijhorende kwadratische vorm (''quadratic form''). Over deze kwadratische vorm hebben we wat meer informatie:
 
:<math>
:<math>\begin{align} \forall v_1,v_1\in V:\\
q(v_1+v_2)&=\langlebegin{align} \forall v_1+v_2,v_1+v_2\ranglein V:\\
q(v_1+v_2)&=(v_1+v_2,v_1+v_2)\\
&=\langle v_1,v_1 \rangle +\langle v_1,v_2 \rangle+\langle v_2,v_1 \rangle+\langle v_2,v_2 \rangle\\
&=q(v_1,v_1)+2\langle +(v_1,v_2\rangle q)+(v2 v_2,v_1 )+(v_2,v_2 )\\end{align}</math>
&=q(v_1)+2( v_1,v_2) q(v2) \end{align}
</math>
 
Dus weten we, als wehet inlichaam eenniet veldvan zijnkarakteristiek waar2 <math>\textstyle 2\neq0</math>is, dan isdat
 
:<math> \frac{q(v_1+v_2)-q(v_1)-q(v_2)}{2}=\langle( v_1,v_2 \rangle )</math>
 
Deze formule noemen weheet de polaire formule.
 
Aangezien we met een symmetrische vorm werken, wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrischesymmetrisch is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm.
<!--
 
:<math>\begin{align} \langle v,w\rangle&=\left\langle \sum_{i=1}^n x_i v_i,\sum_{i=1}^n y_i v_i \right\rangle\\
&=\sum_{i=1}^n x_i\langle v_i,v_j \rangle y_i\\
&= \begin{pmatrix} x_1 & \ldots & x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle v_1,v_1 \rangle & \ldots & \langle v_1,v_n \rangle\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\langle v_n,v_1 \rangle & \ldots & \langle v_n,v_n \rangle\\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\\vdots\\y_n \end{pmatrix} \end{align}</math>
-->
 
Aangezien we met een symmetrische vorm werken wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrische is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm.
 
===Basisverandering===
We zullen onderzoeken wat er gebeurdgebeurt bij basisverandering. Stel dat je een nieuwe basis <math>\textstyle \beta'=\{v'_1,\ldots,v'_2\}</math> Dan weten we dat er een inverteerbare matrix <math>\textstyle P\in F^{n\times n}</math> bestaat zodat <math>\textstyle (v'_1,\ldots,v'_n)=P(v_1,\ldots,v_2)</math>. We kunnen dus een vector <math>\textstyle v\in V</math> op twee manieren ontbinden:
 
We zullen onderzoeken wat er gebeurd bij basisverandering. Stel dat je een nieuwe basis <math>\textstyle \beta'=\{v'_1,\ldots,v'_2\}</math> Dan weten we dat er een inverteerbare matrix <math>\textstyle P\in F^{n\times n}</math> bestaat zodat <math>\textstyle (v'_1,\ldots,v'_n)=P(v_1,\ldots,v_2)</math>. We kunnen dus een vector <math>\textstyle v\in V</math> op twee manieren ontbinden:
 
:<math>\begin{align} v&=\sum_{i=1}^n x_iv_i &=\sum_{i=1}^n x'_i v'_i\\
2.413

bewerkingen

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.