Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies

geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
{{Lineaire algebra}}
 
Naast eenvormen zijn ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekentdatbetekent dat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.
 
==Definitie 20.1==
Zij ''V'' een vectorruimte over het lichaam ''K''. Een '''bilineaire vorm''' op ''V'' is een afbeelding <math>B :V\times V\to K</math>, die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor ''x, y'' en ''z&nbsp;&isin;&nbsp;V, en ''λ&isin;K'' geldt
:<math>\!\,B(\lambda x + y, z)=\lambda B(x,z)+B(y,z)</math>
en
:<math>\!\,B(z,\lambda x + y)=\lambda B(z,x)+B(z,y)</math>
 
 
Een bilineaire vorm die aan de paren (''x'',''y'') en (''y'',''x'') dezelfde waarde toevoegt noemen weheet symmetrisch.
 
==Definitie 20.2==
Een bilineaire vorm ''B'' op ''V'' heet '''symmetrisch''' als voor alle ''x'' en ''y'' &isin; ''V'' geldt:
:<math>B(x,y)=B(y,x).</math>
 
:<math>B(x,y)=B\left(\sum_{i=1}^n \xi_i v_i,\sum_{j=1}^n \eta_j v_j\right) = \sum_{ij}\xi_i\eta_j B(v_i,v_j)=\sum_{ij}\xi_i\beta_{ij}\eta_j=\xi^T\beta\eta .</math>
 
Daarin is <math>\!\beta</math> de ''n×n''-matrix met elementen <math>\beta_{ij}= B(v_i,v_j)</math> die t.o.v. de gekozen basis hoort bij ''B''.
 
Wat we hier gevonden hebben formuleren we in de volgende stelling.
 
==Stelling 20.1==
Bij iedere lineaire vorm ''B'' op een lineaire ruimte ''V'' van dimensie ''n'' bestaat na keuze van een basis een ''n×n''-matrix <math>\!\,\beta</math>, zodanig dat de lineaire vorm voorgesteld kan worden door:
:<math>\!\,B(x,y)=\xi^T\beta\eta,</math>
 
met <math>\!\,\xi</math> en <math>\!\,\eta</math> de coördinaten van resp. ''x'' en ''y'' t.o.v. de gekozen basis.
 
 
Geven we de coördinatisering t.o.v. de basis aan met ''<math>\kappa</math>'', dan zijn:
:<math>\!\,\kappa x=\xi</math> en <math>\!\,\kappa y=\eta</math>.
 
en
:<math>\!\,B(x,y)=(\kappa x)^T\beta\kappa y.</math>
 
==Stelling 20.2==
De matrix &beta; die bij een symmetrische bilineaire vorm ''B'' op ''V'' hoort, is symmetrisch.
 
===Bewijs===
Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> de betrokken basis is, geldt:
:<math>\beta_{ij}= B(v_i,v_j)= B(v_j,v_i)=\beta_{ji}</math>
 
Stel dat we een symmetrische bilineare vorm hebben, dan is
 
:<math> q:V\to F:v\mapsto (v,v) </math>
 
de bijhorende kwadratische vorm. Over deze kwadratische vorm hebben we wat meer informatie:
 
:<math>
\begin{align} \forall v_1,v_1\in V:\\
q(v_1+v_2)&=(v_1+v_2,v_1+v_2)\\
&=(v_1,v_1) +(v_1,v_2 )+( v_2,v_1 )+(v_2,v_2 )\\
&=q(v_1)+2( v_1,v_2) q(v2) \end{align}
</math>
 
Dus weten we, als het lichaam niet van karakteristiek 2 is, dat
 
:<math> \frac{q(v_1+v_2)-q(v_1)-q(v_2)}{2}=( v_1,v_2 )</math>
 
Deze formule heet de polaire formule.
 
Aangezien we met een symmetrische vorm werken, wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrisch is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm.
 
{{Sub}}
2.413

bewerkingen

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.