Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies

Geen bewerkingssamenvatting
 
===Bewijs===
AlsZij <math>(v_1b_1,\ldots,v_n b_n)</math> de betrokken basis; is,dan geldt:
:<math>\beta_{ij}= B(v_ib_i,v_jb_j)= B(v_jb_j,v_ib_i)=\beta_{ji}</math>
 
Stel dat we een symmetrische bilineare vorm hebben, dan is
 
:<math> q:V\to F:v\mapsto (v,v) </math>
 
de bijhorende kwadratische vorm. Over deze kwadratische vorm hebben we wat meer informatie:
 
:<math>
\begin{align} \forall v_1,v_1\in V:\\
q(v_1+v_2)&=(v_1+v_2,v_1+v_2)\\
&=(v_1,v_1) +(v_1,v_2 )+( v_2,v_1 )+(v_2,v_2 )\\
&=q(v_1)+2( v_1,v_2) q(v2) \end{align}
</math>
 
Dus weten we, als het lichaam niet van karakteristiek 2 is, dat
 
:<math> \frac{q(v_1+v_2)-q(v_1)-q(v_2)}{2}=( v_1,v_2 )</math>
 
Deze formule heet de polaire formule.
 
Aangezien we met een symmetrische vorm werken, wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrisch is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm.
 
{{Sub}}
2.413

bewerkingen

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.