Lineaire algebra/Kwadratische vorm: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
Bij een symmetrische bilineare vorm ''B'' op de vectorruimte ''V'' kan een afbeelding
:<math> Q:V\to \R : v\mapsto B(v,v) </math>
gedefinieerd worden. Daarvoor geldt:
:<math>Q(v+v') ▼
= B(v+v',v+v')
= B(v,v) + B(v,v' ) + B(v',v) + B (v',v')
= Q(v) + 2B(v,v') + Q(v').
</math>▼
Dit komt natuurlijk overeen met de uitwerking van een kwadraat, en daarom heet ''Q'' een kwadratische vorm.
== Definitie 22.1 ==
Zij <math>V</math> een lineaire ruimte over een lichaam <math>K</math>.Een '''kwadratische vorm''' op ''V'' is een afbeelding <math>Q:V\to K</math> van <math>V</math> naar <math>K</math> waarvoor een symmetrische bilineaire vorm <math>B</math> op <math>V</math> bestaat, zodanig dat:
:<math>Q(v)=B(v,v).</math>
Zoals we boven zagen geldt voor de bilineaire vorm ''B'' die bij ''Q'' bestaat:
:<math>Q(v+v')=2B(v,v') + Q(v) + Q(v').</math>
Als de [[karakteristiek (wiskunde)|karakteristiek]] van <math>K</math> verschilt van 2 dan is deze bilineaire vorm uniek, en heet deze de met <math>Q</math> ''geassocieerde'' bilineaire vorm. De samenhang tussen beide wordt dan weergegeven door:
:<math>B(v,w)=\tfrac 12(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).</math>
<math>Q</math> is een [[Homogeniteit (wiskunde)|homogene afbeelding]] van de tweede graad:
:<math>\forall v\in V,\lambda\in K:Q(\lambda v)=\lambda^2 Q(v);</math>
Als van de vectorruimte een [[Basis (lineaire algebra)|basis]] <math>W</math> is gegeven, dan wordt een kwadratische vorm gegeven door een [[symmetrische functie]] <math>S:W\times W \to K</math> die de symmetrische bilineaire vorm bepaalt.
▲:<math>
▲</math>
Dus weten we, als het lichaam niet van karakteristiek 2 is, dat
| |||