Lineaire algebra/Kwadratische vorm: verschil tussen versies

geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
Zij <math>V</math> een lineaire ruimte over een lichaam <math>K</math> waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en ''Q'' een kwadratische vorm op ''V''. De met ''Q'' geassocieerde bilineaire vorm ''B'' is eenduidig bepaald.
 
== Stelling 22.2 ==
Een kwadratische vorm <math>Q</math> is een [[Homogeniteit (wiskunde)|homogene afbeelding]] van de tweede graad, want:
:<math>\forall v\in V,\lambda\in K:Q(\lambda v)=\lambda^2 Q(v);.</math>
 
 
Laat <math>b=(b_1,\ldots, b_n)</math> een geordende basis van de vectorruimte <math>V</math> zijn.
 
:<math>B(v,v')=B(\sum v_ib_i,\sum v'_jjb_j)=\sum v_i v'_jB(b_i,b_j)=\sum v_i v'_j\beta_{ij}</math>
:<math>Q(v)=B(v,v)=\sum v_i v_j\beta_{ij}</math>
 
Omdat ''B'' symmetrisch is, is ook de matrix <math>\beta</math> symmetrisch.
<math>Q</math> is een [[Homogeniteit (wiskunde)|homogene afbeelding]] van de tweede graad:
Omgekeerde hoort bij iedere symmetrische matrix een symmetrische bilineaire vorm en bijgevolg een kwadratische vorm.
:<math>\forall v\in V,\lambda\in K:Q(\lambda v)=\lambda^2 Q(v);</math>
 
Als van de vectorruimte een [[Basis (lineaire algebra)|basis]] <math>W</math> is gegeven, dan wordt een kwadratische vorm gegeven door een [[symmetrische functie]] <math>S:W\times W \to K</math> die de symmetrische bilineaire vorm bepaalt.
 
 
 
 
Dus weten we, als het lichaam niet van karakteristiek 2 is, dat
 
:<math> \frac{q(v_1+v_2)-q(v_1)-q(v_2)}{2}=( v_1,v_2 )</math>
 
Deze formule heet de polaire formule.
 
Aangezien we met een symmetrische vorm werken, wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrisch is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm.
 
===Basisverandering===
2.408

bewerkingen

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.