Lineaire algebra/Kwadratische vorm: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
wordt nog vervolgd |
||
Regel 41:
Omdat ''B'' symmetrisch is, is ook de matrix <math>\beta</math> symmetrisch. Omgekeerd hoort bij iedere symmetrische matrix een symmetrische bilineaire vorm en bijgevolg een kwadratische vorm.
==Stelling van Sylvester==
Door overgang op een basis waarvoor de matrix van de met ''Q'' geassocieerde bilineaire vorm ''B'' diagonaal is, kan ''Q'' als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten kan geschreven worden. Voor de vector ''v'' met coordinaten <math>\xi</math> t.o.v. deze basis geldt;
:<math>Q(v)=a_1\xi_1^2+\ldots+a_r\xi_n^2</math>.
Stel dat het lichaam van scalairen <math>\C</math> is, dan kunnen we van alle <math>a_i</math> de wortel nemen en kunnen we schrijven:
:<math>Q(v)=\xi^{'2}_1+\ldots+\xi^{'2}_n</math>
met <math>\xi'_i=\sqrt{a_i}\xi_i</math>.
Als de scalairen reële getallen zijn, dus <math>K=\R</math>, doen we iets soortgelijks. We schrijven:
:<math>Q(v)=\xi_1^{'2}+\ldots+\xi_p^{'2}-\xi_{p+1}^{'2}-\ldots-\xi_r^{'2}</math>
met
:<math> \left\{ \begin{matrix} \sqrt{a_i} \text{ als }a_i>0\\▼
:<math>\left\{
\sqrt{-a_i} \text{ als }a_i<0 \end{matrix} \right. </math>▼
\begin{matrix}
\end{matrix}
\right. </math>
Aangezien we maar <math>\textstyle r</math> termen opnemen en niet alle <math>\textstyle n</math> termen kunnen we veronderstellen dat <math>\textstyle a_i\neq0</math> is. We kunnen daarenboven nog een afspraak maken dat de eerste <math>\textstyle p</math> coëfficiënten positief zijn en de laatste <math>\textstyle r-p</math> negatief:
|