Lineaire algebra/Kwadratische vorm: verschil tussen versies

wordt nog vervolgd
Geen bewerkingssamenvatting
(wordt nog vervolgd)
 
Omdat ''B'' symmetrisch is, is ook de matrix <math>\beta</math> symmetrisch. Omgekeerd hoort bij iedere symmetrische matrix een symmetrische bilineaire vorm en bijgevolg een kwadratische vorm.
 
 
==Stelling van Sylvester==
Door overgang op een basis waarvoor de matrix van de met ''Q'' geassocieerde bilineaire vorm ''B'' diagonaal is, kan ''Q'' als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten kan geschreven worden. Voor de vector ''v'' met coordinaten <math>\xi</math> t.o.v. deze basis geldt;
 
:<math>Q(v)=a_1\xi_1^2+\ldots+a_r\xi_n^2</math>.
 
Stel dat het lichaam van scalairen <math>\C</math> is, dan kunnen we van alle <math>a_i</math> de wortel nemen en kunnen we schrijven:
:<math>Q(v)=\xi^{'2}_1+\ldots+\xi^{'2}_n</math>
 
met <math>\xi'_i=\sqrt{a_i}\xi_i</math>.
Stel dat we met het veld <math>\textstyle \mathbb{C}</math> werken, in de vorige sectie hebben we bewezen dat iedere kwadratische vorm als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten kan geschreven worden, <math>\textstyle q(v)=a_1x_1^2+\ldots+a_rx_r^2</math>. Als we nu voor alle <math>\textstyle i</math> de wortel van <math>\textstyle a_i</math> nemen, dan krijgen we dat <math>\textstyle q(v)=x^{'2}_1+\ldots+x^{'2}_r</math> met <math>\textstyle x'_i=\sqrt{a_i}x_i</math>.
 
Als de scalairen reële getallen zijn, dus <math>K=\R</math>, doen we iets soortgelijks. We schrijven:
We zouden nu natuurlijk hetzelfde willen doen voor het veld dat het meest gebruikt is: het reële veld. In <math>\textstyle \mathbb{R}</math> hebben we ook dat <math>\textstyle q(v)=a_1x_1^2+\ldots+a_r x_r^2</math>. Neem nu
:<math>Q(v)=\xi_1^{'2}+\ldots+\xi_p^{'2}-\xi_{p+1}^{'2}-\ldots-\xi_r^{'2}</math>
 
met
:<math> \left\{ \begin{matrix} \sqrt{a_i} \text{ als }a_i>0\\
:<math>\left\{
\sqrt{-a_i} \text{ als }a_i<0 \end{matrix} \right. </math>
\begin{matrix}
:<math> \left\{ \begin{matrix} xi'_i=\sqrt{a_i}\xi_i \text{ als }a_i>0\\
\xi'_i=\sqrt{-a_i}\xi_i \text{ als }a_i<0 \end{matrix} \right. </math>
\end{matrix}
\right. </math>
 
Aangezien we maar <math>\textstyle r</math> termen opnemen en niet alle <math>\textstyle n</math> termen kunnen we veronderstellen dat <math>\textstyle a_i\neq0</math> is. We kunnen daarenboven nog een afspraak maken dat de eerste <math>\textstyle p</math> coëfficiënten positief zijn en de laatste <math>\textstyle r-p</math> negatief:
2.408

bewerkingen

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.