Wikibooks

Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies

Module Overleg

Lineaire algebra/Bilineaire vorm (bewerken)

Versie van 22 apr 2015 16:11

96 bytes toegevoegd ,  8 jaar geleden
→‎Diagonaalvorm
VisueelWikitekst
Geen bewerkingssamenvatting
 
==Diagonaalvorm==
Als we een basis kunnen vinden ten opzichte waarvan de matrix van een bilineaire vorm diagonaal is, kan de bilineaire eenvoudig weergegeven worden.
Net zoals we met lineaire afbeeldingen gedaan hebben zouden we graag de matrix van een bilineaire vorm diagonaliseren. Deze keer willen we het niet diagonaliseren via gelijkvormigheid maar wel via congruentie. Zoals je in de volgende stelling ziet: we hebben geluk. Iedere matrix is diagonaliseerbaar.
 
==Stelling 21.3==
{{Wis stelling| Zij <math>\textstyle F,V,+)</math> een vectorruimte met <math>\textstyle \dim_{\mathbb{R}}V=n</math> met een symmetrische bilineaire vorm <math>\textstyle \langle,\rangle</math> en <math>\textstyle 2\neq0 \in F</math>. Dan bestaat een basis <math>\textstyle \{v_1,\ldots,v_n\}</math> van <math>\textstyle V</math> zodat <math>\textstyle \forall i,j:\langle v_i,v_j\rangle=0</math> als <math>\textstyle i\neq j</math>. Dus m.a.w. dat de matrix diagonaal is. }}
Zij <math>V</math> een ''n''-dimensionale vectorruimte over het lichaam <math>K</math> met karakteristiek ongelijk aan 2, en <math>B</math> een symmetrische bilineaire vorm op <math>V</math>. Dan is er een basis <math>\{b_1,\ldots,b_n\}</math> van <math>V</math> zodat <math>\textstyle \forall i,j, i\neq j: B( b_i,b_j)=\beta_{ij}=0</math>.
 
Ten opzichte van deze basis is de matrix <math>\beta</math> van <math>B</math> dus diagonaal en wordt <math>B</math> bepaald door:
 
:<math>B(x,y) = \beta_{11}\xi_1\eta_1+\ldots +\beta_{nn}\xi_n\eta_n </math>,
 
waarin <math>\xi</math> en <math>\eta</math> weer de coördinaten zijn van respectievelijk <math>x</math> en <math>y</math> ten opzichte van deze basis.
 
{{Wis bewijs| We bewijzen dit door inductie op <math>\textstyle n</math>.
Nijdam
2.415

bewerkingen

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.