Klassieke Mechanica/Lagrange: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 87:
:<math> Q_j = \frac{\partial V}{\partial q_j}</math>
Daar de potentiële energie normaal alleen afhangt van de positie en niet van de snelheid, kan de vorige formule van de vergelijkingen van Lagrange dan ook geschreven worden als:
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial (T-V)}{\partial \dot q_j}\right) - \frac{\partial (T-V)}{\partial q_j}= 0 </math> voor elke q<sub>j</sub>
Men voert nu een grootheid in die men de '''Lagrangiaan L''' noemt: '''L = T - V'''. Hiermede kan de vorige vergelijking eenvoudiger geschreven worden als:
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_j}= 0 </math> voor elke q<sub>j</sub>
Dit wordt soms de '''tweede vorm van de vergelijkingen van Lagrange''' genoemd.
Als er nog niet-potentiaalkrachten spelen, dan kan men die natuurlijk nog altijd in het rechterlid houden:
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_j}= Q_j </math> voor elke q<sub>j</sub>
Dit wordt soms de '''derde vorm van de vergelijkingen van Lagrange''' genoemd.
Regel 101:
Alhoewel men bij bovenstaande afleiding ondersteld heeft dat de potentiaalfunctie enkel afhangt van de veralgemeende coördinaten q<sub>j</sub> en niet van de veralgemeende snelheden, kan het formalisme ook gebruikt worden bij potentiaalfuncties waarvoor geldt:
:<math>Q_j = \frac{\partial V}{\partial q_j} + \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot q_j}\right)</math>
Dit soort functies komt o.a. voor bij de studie van elektrische velden. De potentiaalfunctie V wordt dan een veralgemeende potentiaal genoemd.
| |||