Klassieke Mechanica/Lagrange: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 167:
De snelheid van het blokje bestaat uit een [[Klassieke_Mechanica/Kinematica-2#De_drie_snelheden| sleepsnelheid en een relatieve snelheid]]. Daar beide loodrecht op elkaar staan wordt de uitdrukking voor de kinetische energie van het blokje eenvoudig:
:<math>E_k(kogel) = \frac{m}{2}(v_s^2 + v_r^2) = \frac{m}{2}\left[(r\sin\theta.\dot\varphi)^2 + (r\dot\theta)^2 \right] = \frac{mr^2}{2}(\sin^2\theta.\dot\varphi^2 + \dot\theta^2)</math>
[[afbeelding:kogelinBuis.png|right|kogel in roterende buis]]
De totale kinetische energie wordt dan:
Regel 176:
:<math> L = T-V = \frac{mr^2}{2}(\sin^2\theta.\dot\varphi^2 + \dot\theta^2) + \frac{I\dot\varphi^2}{2} + mgr\cos\theta</math>
Voor de vergelijking in θ krijgt men:
:<math>\frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = mr^2\dot\theta \quad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}\right) = mr^2\ddot\theta</math>
:<math>\frac{\partial L}{\partial \theta} = mr^2\sin\theta\cos\theta.\dot\varphi^2 - mgr\sin\theta</math>
De eerste vergelijking wordt hiermede
Regel 183:
Voor de vergelijking in φ
:<math>\frac{\partial L}{\partial \dot \varphi} = mr^2\sin^2\theta.\dot \varphi + I \dot\varphi</math>
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot \varphi}\right) = mr^2(2\sin\theta\cos\theta.\dot \theta \dot \varphi + \sin^2\theta.\ddot\varphi) + I \ddot\varphi = M</math>
:<math>\frac{\partial L}{\partial \varphi} = 0 </math> , maar φ is geen cyclische coördinaat omdat er een rechterlid is. Zonder het uitwendig moment M zou φ wel cyclisch zijn als teken van behoud van impulsmoment t.o.v. de as.
| |||