Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
|||
Regel 1:
{{Lineaire algebra}}
Naast eenvormen zijn er ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekent dat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.
==Definitie 20.1==
Zij
:<math>B(\lambda x + y, z)=\lambda B(x,z)+B(y,z)</math>
en
Regel 10:
Een bilineaire vorm die aan de paren <math>(
==Definitie 20.2==
Een bilineaire vorm
:<math>B(x,y)=B(y,x)
===Matrixvoorstelling===
Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> een basis is van
:<math>x=\sum_{i=1}^n \xi_i v_i </math> en <math>y=\sum_{i=1}^n \eta_i v_i </math>
Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding
:<math>B(x,y)=B\left(\sum_{i=1}^n \xi_i v_i,\sum_{j=1}^n \eta_j v_j\right) = \sum_{ij}\xi_i\eta_j B(v_i,v_j)=\sum_{ij}\xi_i\beta_{ij}\eta_j=\xi^T\beta\eta
Daarin is <math>\beta</math> de
Wat we hier gevonden hebben formuleren we in de volgende stelling.
==Stelling 20.1==
Bij iedere lineaire vorm
:<math>B(x,y)=\xi^T\beta\eta,</math>
met <math>\xi</math> en <math>\eta</math> de coördinaten van resp.
Geven we de coördinatisering t.o.v. de basis aan met <math>\kappa</math>, dan
:<math>\kappa x=\xi</math> en <math>\kappa y=\eta</math>
en
:<math>B(x,y)=(\kappa x)^T\beta\kappa y
==Stelling 20.2==
De matrix
===Bewijs===
Regel 53:
==Stelling 20.3==
Zij <math>V</math> een
:<math>B( Ten opzichte van deze basis is de matrix <math>\beta</math> van <math>B</math> dus diagonaal en wordt <math>B</math> bepaald door:
:<math>B(x,y) = \beta_{11}\xi_1\eta_1+\ldots +\beta_{nn}\xi_n\eta_n
waarin <math>\xi</math> en <math>\eta</math> weer de coördinaten zijn van respectievelijk <math>x</math> en <math>y</math> ten opzichte van deze basis.
Regel 76 ⟶ 77:
:<math> V_1=\{x\in V|B(x,v_1) = 0\} </math>
We zien dat <math>
Door de inductiehypothese bestaat er een basis <math>\textstyle \{v_2,\ldots,v_k\}</math> voor <math>\textstyle V_1</math> met <math>\textstyle \langle v_i,v_j\rangle=0</math> als <math>\textstyle i\neq j</math>. Vorm nu de verzameling <math>\textstyle \{v _1,v_2,\ldots,v_k\}</math>, dan geldt nog steeds dat <math>\textstyle \langle v_i,v_j\rangle = 0</math> als <math>\textstyle i\neq j</math>. Als we nu kunnen bewijzen dat die verzameling een basis is, dan is de stelling volledig bewezen. Het is voldoende om te bewijzen dat die verzameling voortbrengend is omdat we al weten dat <math>\textstyle \#\{v_1,\ldots,v_k\}\leq n</math>.
Regel 90 ⟶ 91:
Dit heeft als gevolg dat we in een veld waar <math>\textstyle 2\neq0</math> elke kwadratische vorm kunnen schrijven als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten na het aanpassen van het assenstelsel.
-->▼
===Voorbeeld===
Neem
▲Neem het veld <math>\textstyle F=\mathbb{R}</math>. <math>\textstyle q</math> is bepaald door de symmetrische matrix
3&-1&2\\
▲:<math> \begin{pmatrix} 3&-1&2\\
-1&0&1\\
2&1&2
\end{pmatrix} Als we dit in formules zetten krijgen we <math>
:<math>\begin{align} q(x,y,z)&=3x^2-2xy+4xz+2yz+2z^2\\
Regel 119 ⟶ 121:
Deze matrix is inverteerbaar en dus een matrix van basis verandering.
▲-->
|